ექსპონენციური ფუნქცია: სხვაობის კოეფიციენტის გამოყენებით წარმოება

წინასწარი შენიშვნა: ჩვეულებრივ ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოება არის f (x) = e^x მისი შებრუნებული ფუნქციის, ბუნებრივი ლოგარითმის საშუალებით. თუმცა, აქ ეს უნდა გაკეთდეს "მთლიანად ფეხით" სხვაობის კოეფიციენტის ზღვრულ მნიშვნელობაზე.

განსხვავების კოეფიციენტს აქვს წარმოებული როგორც ზღვრული მნიშვნელობა

1. ნებისმიერი ფუნქციის სხვაობის კოეფიციენტი f (x) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმით [f (x + h) - f (x)] / h. თუ დამხმარე ცვლადი "h" უახლოვდება ნულს, ფუნქციის წარმოებული f '(x) მიიღება სხვაობის კოეფიციენტიდან, როგორც ზღვრული მნიშვნელობა.
2. ექსპონენციალური ფუნქციისთვის f (x) = e^x ეს იწვევს შემდეგ განსხვავებულ კოეფიციენტს: [ე^x+ თ - ე^x] / სთ, რომლის შემდგომი გარდაქმნა შეგიძლიათ [ე^x_*ე^თ - ე^x] / სთ = ე^x _* [ე^თ - 1] / სთ.
3. ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული f '(x) შეიძლება მიღებულ იქნეს ამ გამოთქმის ლიმიტი "h" ნულისკენ. როგორც ქვემოთ მოცემულია, [ე^თ - 1] / h უახლოვდება მნიშვნელობას "1", ასე რომ f '(x) = e
   instagram viewer
   ^x იქნება. ამრიგად, ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოშობა ეთანხმება თავდაპირველ ფუნქციას.

ექსპონენციალური ფუნქცია - უფრო დეტალურად განიხილება

საზღვრის გადაკვეთაზე წარმოებულის გამოსათვლელად, ის ფაქტი, რომ გამოთქმა [ე^თ - 1] / სთ აქვს ლიმიტი "1", თუ დამხმარე ცვლადი "თ" ნულისკენ მიდის. მაგრამ რატომ არის ასე?

• უმარტივესი გზა გაირკვეს [ქ^თ - 1] / სთ სიცხადის უზრუნველსაყოფად, ბუნებრივია გამოიყენოთ კალკულატორი გამოვთვალოთ ეს გამოთქმა "h" - ს უფრო მცირე მნიშვნელობებისთვის (მაგალითად h = 1/100, h = 1/1000 და სხვ.). სწრაფად ირკვევა, რომ ის რეალურად უახლოვდება "1" -ს. თუმცა, ეს არ არის მათემატიკური მტკიცებულება.
• კიდევ ერთი შესაძლებლობაა შეაფასოს ექსპონენციალური ფუნქცია მცირე არგუმენტებისთვის. კერძოდ, ე^თ = 1 + სთ + სთ / 2... ამ სერიის განვითარება შეიძლება დამაჯერებლად დაიშალოს 2 ან 3 ვადის შემდეგ, რადგან "h" უნდა იყოს პატარა. თუ ვინმე ამ შეფასებას აყენებს გამოთქმაში [ე^თ - 1] / სთ, ერთი იღებს [1 + h + h² / 2 - 1] / h = [h + h² / 2] / h = [1 + h / 2] თუ ერთი შემოკლებით მნიშვნელს. როგორც ზღვრული მნიშვნელობა, ეს გამოთქმა ფაქტიურად არის "1" h- სთვის ნულისკენ.