განმარტა ძალაუფლების სერიის ფუნქციის გაფართოება

instagram viewer

ბევრი ფუნქცია შეიძლება გარდაიქმნას ენერგიის სერიად შესაბამისი ტრანსფორმაციის გზით. მაგრამ როგორ მუშაობს ეს ზუსტად და რა უნდა იქნას გათვალისწინებული? თქვენ დაინახავთ, რომ დენის სერიის გაფართოება არც ისე რთულია, თუ თქვენ გააგრძელებთ გარკვეული სქემის მიხედვით და თავად გამოიღებთ მას.

ფუნქციის განვითარება Mac Laurin სერიაში

რა თქმა უნდა, ყველა თვითნებური ფუნქცია არ შეიძლება გადავიდეს ძალაუფლების სერიად. უფრო სწორად, ფუნქცია უნდა აკმაყოფილებდეს გარკვეულ კრიტერიუმებს, რათა ეს პროცესი საერთოდ იქნას გამოყენებული. ისეთივე კარგი, როგორც ყველა უბრალო ფუნქციებირომელსაც ყოველდღიურ ცხოვრებაში წააწყდებით აკმაყოფილებს ამ კრიტერიუმებს, ეს ნაბიჯი აქ უბრალოდ გამოტოვებულია. თუმცა, თქვენ დაუყოვნებლივ დაინახავთ, რომ განსახილველი ფუნქცია ნებისმიერ შემთხვევაში უნდა იყოს დიფერენცირებული იმდენად ხშირად, რამდენადაც საჭიროა (აუცილებელი პირობა).

  1. დავუშვათ, რომ ნებისმიერი ფუნქცია f შეიძლება ცალსახად გაფართოვდეს გარკვეულ სიმძლავრის სერიებში. მაშინ ეს ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ძალაუფლების ფუნქცია. ვრცელდება შემდეგი: f (x) = a0+ ა1x1+ ა2x2+ ა3x3+ ა4x4+...
  2. ჯერ განვითარების წერტილი x0 = 0 განიხილება. ამ განვითარების წერტილის მიმდებარე გარემოში, ფუნქცია უნდა იყოს დიფერენცირებული იმდენად ხშირად, რამდენადაც ამას მოითხოვს.
  3. Ახლა შენ შეგიძლია წარმოებულები ფუნქციის. f '(x) = a1+ 2 ა2x1+ 3 ა3x2+ 4 ა4x3+..., f "(x) = 2a2+ 6 ა3x1+ 12 ა4x2+..., f (x) = 6a3+ 24 ა4x +..., f (x) = 24a4+...
  4. განვითარების წერტილში x0 = 0 მაშინ: f (0) = a0, f '(0) = a1, f '"(0) = 2a2, f (0) = 6a3, f (0) = 24 ა4...
    5. გამოთვალეთ ექსტრემა - ასე კეთდება მრავალწევრებთან

    გამოთვალეთ მრავალწევრის ექსტრემა და მიეცით ფარდობითი მაქსიმალური და მინიმალური ...

  5. თუ ყურადღებით დააკვირდებით კოეფიციენტებს, შეამჩნევთ, რომ ისინი იქცევიან ფაქტორიალის მსგავსად (ჩვენ გვაქვს (n!)n∈N = 1, 2, 6, 24, 120,... და დამატებით (0!) = 1).
  6. გაითვალისწინეთ ეს ფუნქციის შემუშავებისას, თქვენ მიიღებთ f (0) = (0!) A0, f '(0) = (1!) a1, f '"(0) = (2!) a2, f (0) = (3!) a3, f (0) = (4!) a4.
  7. თუ თქვენ ახლა შეცვლით კოეფიციენტების მიხედვით, მიიღებთ a0 = f (0) / 0!, ა1 = f '(0) / 1!, ა2 = f "(0) / 2!, ა3 = f (0) / 3!, ა4 = f (0) / 4!, ...
  8. თქვენ შეგიძლიათ ნახოთ კოეფიციენტები აn დაიცვან განათლების აქტი აn = ვ(n)(0) / ნ!
  9. ახლა თქვენ შეგიძლიათ თქვენი ახალი დასკვნები გადაიტანოთ გამომავალ ფუნქციაში f, ასე რომ f (x) = f (0) / 0! + [F '(0) / 1!] * X მოქმედებს1+ [f '' (0) / 2!] x2+ [f (0) / 3!] x3+ [f (0) / 4!] x4+... = Σn = 0 [ვ(n)(0) / n!] Xn. ამ უსასრულო სერიას ეწოდება Mac Laurin სერია.
  10. რას მოაქვს ეს ინფორმაცია ახლა? ნებისმიერი ფუნქციისთვის, რომელიც შეიძლება გადაიზარდოს ძალაუფლების ფუნქციაში, თქვენ მხოლოდ უნდა განსაზღვროთ წარმოებულები და შეგიძლიათ წარმოადგინოთ ეს ფუნქცია უსასრულო სერიის სახით.

მაგალითი: სიმძლავრის სერიის გაფართოება f (x) = sin (x)

ზემოაღნიშნული სქემის გასაგებად საუკეთესო საშუალებაა მისი გამოყენება უშუალოდ მარტივ მაგალითზე. ამისათვის გაითვალისწინეთ ფუნქცია f (x) = sin (x). როგორც მოგეხსენებათ, ამ ფუნქციის დიფერენცირება შესაძლებელია ნებისმიერ დროს.

  1. პირველი, განსაზღვრეთ პირველი ოთხი წამყვანი. შემდეგი ვრცელდება: f '(x) = cos (x), f' "(x) = -sin (x), f (x) = -cos (x), f (x) = sin (x).. რა აქედან მოყოლებული ყველაფერი მეორდება ოთხეულის ციკლში.
  2. ახლა განვიხილოთ განვითარების წერტილი x0 = 0, შემდეგ f (0) = 0, f '(0) = 1, f' '(0) = 0, f (0) = -1, f (x) = 0 ...
  3. ახლა ჩადეთ წარმოებულები Mac Laurin სერიაში. f (x) = Σn = 0 [ვ(n)(0) / n!] Xn = 0 + x1/1!+0-x3/3!+0+x5/5 !+...= x1/1!-x3/3!+x5/5!+...= Σn = 0 (-1)nx2n + 1/(2n+1)!
  4. ასე რომ თქვენ მიიღებთ მონაცვლე სერიას, რომლის თანხვედრა შეგიძლიათ დაამტკიცოთ ლაიბნიცის კრიტერიუმით, მაგალითად. სერიის ყოველი მეორე წევრი გამოტოვებულია, რადგან ცოდვა (0) = 0. თქვენ შეგიძლიათ განსაზღვროთ კოსინუსის სიმძლავრის სერია სრულიად ანალოგიურად (გადაწყვეტა: Σn = 0 (-1)nx2n/(2n)! ).

მაგალითი: f (x) = e გაფართოებაx ძალაუფლების სერიაში

  1. ეx ძალაუფლების სერიაში განსაკუთრებით ადვილია. ჩვენ გვაქვს f (x) = f(n)(x) = ეx არა
  2. თუ თქვენ გააგრძელებთ იმავე სქემის მიხედვით, მიიღებთ ფ(n)(0) = ე0 = 1 შემდეგი რიგი: f (x) = 1+ (1/1!) X1+ (1/2!) X2+ (1/3!) X3+...= Σn = 0 xn/n!

მაკ ლაურინის სერიიდან ტეილორის სერიამდე

Mac Laurin სერიით თქვენ გაქვთ მხოლოდ განვითარების სპეციალური წერტილი x0 = 0 განიხილება. მომდევნო ეტაპზე, ეს შეზღუდვა უნდა მოიხსნას და განვიხილოთ განვითარების ნებისმიერი წერტილი x = x *.

  • პრინციპში, თქვენ აკეთებთ იგივე მოსაზრებებს, რაც Mac Laurin სერიის წარმოებისას.
  • თქვენ მიიღებთ სიმძლავრის სერიას f (x) = f (x *) + (f '(x *) / 1!) (X-x *)1+ (f '"(x *) / 2!) (x-x *)2+ (f (x *) / 3! (x-x *)3+...= Σn = 0 [ვ(n)(x *) / n!] (x-x *)n x * როგორც განვითარების წერტილი.

X * = 0 ტეილორის სერია იცვლება Mac Laurin სერიად. Mac Laurin სერია ტეილორის სერიის განსაკუთრებული შემთხვევაა. პრაქტიკაში, ტეილორის სერია ბევრად უფრო გავრცელებულია, ვიდრე Mac Laurin სერია, რადგან ნებისმიერი განვითარების ცენტრი შესაძლებელია. უკეთესი გაგებისა და წარმოშობისთვის, თუმცა, აზრი აქვს ჯერ სერიის უმარტივეს ვარიანტს შევხედოთ.

click fraud protection