一次方程式で説明される線形連立方程式のガウスアルゴリズム

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連立一次方程式に関する興味深い事実

「連立一次方程式」という用語を個々の単語の構成要素に分解すると、LGSとは何かを簡単に理解できます。

• LGSはいくつかの線形のもので構成されています 方程式、最初は未知のさまざまなパラメータが発生します。 線形とは、パラメータがどのパラメータにも含まれていないことを意味します 可能性 それぞれ 根 発生。 たとえば、方程式x₁+ 2x₂² = 3は、パラメーターxであるため、線形連立方程式の一部にすることはできません。₂ 2乗で発生します。
• さまざまな方程式は、モデリングによって設定することも、タスクで簡単に指定することもできます。 例：トラック配送では、3つのパーツ（x₁、 NS₂、 NS₃）納品、価格p₁ = 1ユーロ、p₂ = 2ユーロとp₃ = 3ユーロあります。 配達の総額は1,000ユーロです。 この情報は、式1xに要約できます。₁+ 2x₂+ 3x₃ = 1,000、ここでx₁、 NS₂ およびx₃ 3つの部分の最初は未知の量に対応します。
• このようにして、さらに方程式を設定することができます。 この例では、部品のスペース要件とトラックの容積が考えられます。
• すべての一次方程式が設定された後、LGSを解くことができます。つまり、未知のパラメータxを決定します。₁、 NS₂ およびx₃. ここでガウスのアルゴリズムが役立ちます。ガウスのアルゴリズムを使用すると、明確に定義されたスキームに従ってLGSを段階的に解くことができます。


線形最適化のシンプレックス法を簡単に説明

線形最適化とは、希少なリソースを最適に割り当てることです...

• 連立一次方程式を解くには3つのオプションがあります。 もう少し経験がある場合は、ソリューションスキームを適用する前に、LGSにソリューションが1つあるか、ないか、または無限にあるかを確認できます。
• 2つの方程式xを持つLGS₁+ x₂ = 1およびx₁+ 2x₂ たとえば、両方の方程式を同時に満たすことができないため、= 1には解がありません。 未知のパラメーターの数が方程式の数と等しく、矛盾がなく、すべての方程式（それぞれペア）が線形独立である場合、解決策は1つだけです。 その場合、LGSに属する行列のランクは、未知数の数と正確に等しくなります。 ランクが小さい場合、解決策は無限にあります（例を参照）。
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ガウスアルゴリズムの適用例

1. 問題をモデル化すると、3つの方程式が2倍になります。₁+ x₂-3倍₃ = 6、x₁-2倍₂-NS₃ = 2および-4x₁-2倍₂+ 6x₃ = -12セットアップ。
2. 次に、これら3つの方程式を上下に記述します。 ガウスアルゴリズムを適用するときは、変数を徐々に削除します。 彼らは、基本線変換が解空間を変更しないことを知っています。
3. ここで、最初の方程式を変更せずに書き留めます。 2番目と3番目の方程式を乗算して、最初の行に追加したときに、これらの新しい方程式にxがないようにします。₁ もっと含まれています。 したがって、2番目の方程式に-2を掛けます（xのため）₁ 2番目の方程式と2x₁ 最初の式で）、それらを最初の行に追加します。 同様に、3番目の方程式を2で割り、それを最初の方程式に追加します。
4. 次のステップでは、パラメータxのみを含む2つの方程式があります。₂ およびx₃ 現れる。 次に、2番目の方程式を書き留め、2番目の方程式に追加したときにxになるように3番目の方程式を乗算します。₂ 排除されます。 他の方程式がある場合は、同じように進めます。
5. 最後の方程式では、変数xのみがあります。₃ あなたが今決定することができること。 結果を他の2つの方程式に代入すると、xの値が得られます₂ およびx₁.
6. ただし、この例では、特別な場合があります。 ステップ3で、3番目の方程式を2で割り、それを最初の方程式に追加すると、0xだけが得られます。₁+ 0x₂+ 0x₃ = 0. この理由は単純です。3番目の式は最初の式に-2を掛けることによって得られるため、式1と式3は線形従属です。
7. ゼロラインを消して、矛盾がなければ、ランクは2だけであり、LGSには無限の数の解があることがわかります。
8. したがって、ステップ3と6の後、2つの方程式2xが得られます。₁+ x₂-3倍₃ = 6および5x₂-NS₃ = 2. あなたには自由度があります。 だからxを与える₁ およびx₂ xに応じて₃ そして、あなたはそこにいます。
9. 2番目の方程式はxを意味します₂ = 2/5 + 1 / 5x₃.
10. xを入れたら₂ 最初の方程式に、次のようになります。2x₁+ 2/5 + 1 / 5x₃-3倍₃ = 6. xへの解像度₁ 結果：x₁ = 14/5 + 7 / 5x₃.
11. したがって、解空間はL = {（14/5 + 7 / 5x₃; 2/5 + 1 / 5x₃; NS₃）} 示す。 解決策は無数にあります。 xの場合₃ = 1、たとえば、ソリューション（21/5; 3/5; 1). テストとして、この解を元の方程式に代入すると、この解が実際にはLGSの解であることがわかります。

さらなる例でガウスアルゴリズムを実行して、それを内部化します。 数値は自分で指定できます。