指数関数：差分商を使用した導関数

予備的注意：通常、指数関数の導関数はf（x）= eです。^NS その逆関数、自然対数によって。 ただし、ここでは、差分商の制限値を超えて「完全に徒歩」で実行する必要があります。

差分商は、限界値として導関数を持ちます

1. 関数f（x）の差分商は、[f（x + h）-f（x）] / hの形式で表すことができます。 補助変数「h」がゼロに近づくと、関数の導関数f '（x）が限界値としての差分商から取得されます。
2. 指数関数の場合f（x）= e^NS これにより、次の差分商が生成されます。[e^NS+ h-e^NS] / h、さらに[eに変換できます^NS_*e^NS -e^NS] / h = e^NS _* [e^NS -1] / h。
3. 指数関数の導関数f '（x）は、「h」のこの式の極限をゼロに向けることによって取得できます。 以下に示すように、[e^NS --1] / hは値「1」に近づくため、f '（x）= e^NS 意思。 したがって、指数関数の導関数は元の関数と一致します。

指数関数-より詳細に検討

導関数の計算のための国境検問所では、式[e^NS -1] / hは、補助変数「h」がゼロに近づく傾向がある場合、制限値「1」を持ちます。 しかし、なぜそれはそのようなのですか？

• [eの振る舞いを知る最も簡単な方法^NS --1] / hわかりやすくするために、 電卓 「h」のさらに小さい値（たとえば、h = 1/100、h = 1/1000など）に対してこの式を計算します。 実際に「1」に近づいていることがすぐにわかります。 ただし、これは数学的な証明ではありません。
• 別の可能性は、小さな引数の指数関数を推定することです。 つまり、e^NS = 1 + h +h²/ 2..。 このシリーズの開発は、「h」を小さくする必要があるため、2〜3項後に自信を持って中断できます。 この推定値を式[e^NS --1] / h、分母で省略した場合、[1 + h +h²/ 2 --1] / h = [h +h²/ 2] / h = [1 + h / 2]になります。 制限値として、この式は実際にはゼロに向かうhに対して「1」です。