עצמאות לינארית מתפקודים
במתמטיקה קיימת עצמאות לינארית לא רק לווקטורים, אלא גם לפונקציות. ההגדרה או הליך הבדיקה דומה מאוד לזה שיש.
פונקציות יכולות להיות גם עצמאיות לינארית
בנוסף לווקטורים של מרחב דו-ממדי או תלת-ממדי שאתה מכיר, ישנם ערכות נוספות העונות על התנאים של מרחב וקטורי. כל הדוגמאות הן רציפות פונקציות מעל האמיתי סְפִירָה ר. (לא בהכרח צריך לדעת מה התנאים למרחב וקטורי כדי להבין זאת יותר.)
- בהקשר פונקציונאלי, עצמאות לינארית פירושה שמכלול הפונקציות fאני בונה או קבוצת משנה מלאה של זה. במילים אחרות: כל פונקציה, שרירותית ככל שתהיה, יכולה לשמש כשילוב לינארי של פונקציות בסיסיות אלה fאני לְיַצֵג.
- בדיוק כפי שאתה יכול לבחון קבוצת וקטורים לעצמאות לינארית, אתה יכול לעשות את אותו הדבר עם מערכת פונקציות. במילים פשוטות, קבוצת פונקציות fאני אז עצמאית לינארית אם אינך יכול לייצג אף אחת מהפונקציות הללו כשילוב לינארי של הפונקציות האחרות.
- מבחינה מתמטית, לעצמאות לינארית היא קובעת כי המשוואה ∑ אאני * ואני = 0 ניתן להגשים רק אם כל (!) המקדמים האמיתיים אאני = 0. הביטוי המתמטי האחרון הוא גם קריטריון מבחן למכלול הפונקציות f אני. אז בסופו של דבר, בדיוק כמו עם וקטורים, אתה צריך למצוא משוואה עם האלמונים aאני לַחקוֹר.
עצמאות לינארית - דוגמאות
- דוגמה שנבחרה לעתים קרובות עבור קבוצת פונקציות רציפות מעל R שאינן תלויות באופן לינארי היא f1(x) = x², f2(x) = האיקס ו f3(x) = ה-איקס. אפילו שיקול ראשוני מלמד כי שתי הפונקציות הנותרות אינן יכולות לבטא אף אחת משלוש הפונקציות הללו. בגסות, הפונקציות הנתונות פשוט שונות מדי. גם המשוואה א1x² + א2האיקס * א3ה-איקס = 0 ניתן לפתור רק אם כל המקדמים אאני = 0.
- שתי הפונקציות f1(x) = חטא 2x, f2עם זאת, (x) = sinx * cos x תלויים לינארית, מכיוון שניתן להמיר את הפונקציה של הזווית הכפולה לפונקציה השנייה בעזרת נוסחה.
- מערך הפונקציות (האינסופי) fאני(x) = xאני, כאשר המדד i הוא המספרים 0,1,2... עובר דרך אגב, יוצר בסיס בלתי תלוי לינארי של המרחב הווקטורי של הפונקציות הרציונאליות לחלוטין. העצמאות הלינארית של fאני ניתן לראות בקלות. מה שנקרא קובע ורונסקי.
שילוב ליניארי של וקטורים - מסביר המומחה למתמטיקה
אתה עומד מול השילוב הליניארי של וקטורים אם אתה נמצא ב ...
עד כמה אתה מוצא מאמר זה מועיל?
