וידיאו: הפחית האופטימלית
הפחית האופטימלית - בעיית ערך קיצוני
היצרנים רוצים להשתמש בכמה שפחות חומר לפחיות ופחיות בירה צריכות להיות שימושיות. אז איך הם צריכים ממדים יש לבחור פחית גלילית בנפח 0.5 ליטר כך שצריך כמה שפחות חומר? והאם היצרנים דבקים בכלל במידות האופטימליות הללו? משימה זו נשמעת חסרת היגיון בהתחלה, כי מבט על מדף הפחים מראה כי היצרנים בסך הכל, הפכו את הפחיות לאחידות, כלומר אותו גובה וקוטר בחר. אך האם זה נובע אולי רק ממכונות המילוי הסטנדרטיות? או כיוון שפחיות הטיפול קלות בצורה הנבחרת?
- שאלות אלו ניתן לבדוק במתמטיקה. בקיצור, המשימה היא: איזה קוטר (או רדיוס) ואיזה גובה אתה צריך עבור גליל הפח בחר כך שהפחית תכיל נפח של 0.5 ליטר והמשטח (כלומר צריכת החומר) קטן ככל האפשר רָצוֹן.
- זוהי בעיית ערך קיצוני עם מצב עיקרי (המשטח צריך להיות מינימלי) עם מצב משני (הנפח הוא 0.5 = 500 ס"מ).
- עם בעיות כאלה, עליך קודם כל להגדיר את התנאים העיקריים והמשניים כמשוואות. במקרה זה, רדיוס r של מעגל הצילינדר וגובה h של הצילינדר הם שני האלמונים (שברצונך לחשב).
- אתה יכול לחפש את הנוסחאות עבור נפח V ואת פני השטח של גליל בלוח הנוסחאות. שימו לב שמשטח הגליל מורכב משני העיגולים ומלבן (מעיל הגליל).
- הדברים הבאים חלים: V = ¶ r² * h = 500 cm³ כתנאי משני ו- F = 2 ¶ r² + 2 ¶ r * h כתנאי העיקרי שצריך להיות מינימלי.
- התנאי העיקרי מכיל בתחילה את שני r ו- h הלא ידועים. מהמצב המשני כעת תוכל להפריד אחד משני האלמונים (h שימושי מכיוון שקל יותר לחשב אותו) ולהכניס אותו למצב הראשי. ההליך דומה להחלפת שתי משוואות בשתי אלמוניות. רק הנה יש לך את זה פונקציות לעשות.
- אתה מקבל h = 500 / ¶ r² (cm³ נשארים בחוץ לחישוב הנוסף; התוצאה מחושבת אז ביחידה "ס"מ") והכניסו אותה למשטח F.
- F (r) = 2 ¶ r² + 2 ¶ r * (500 / ¶ r²) = 2 ¶ r² + 1000 / r, כלומר, משטח הפחית שלך תלוי כעת רק ברדיוס.
- על פי המשימה, המשטח צריך להיות מינימלי, כך שאתה מחפש ערך קיצוני של פונקציה זו.
- לשם כך, נגזר F (r) על פי המשתנה r והגדר את הנגזרת לאפס.
- אתה מחשב F '(r) = 4 ¶ r - 1000 / r² (אתה יכול לחפש את הנגזרת של 1 / r בנוסח אם אתה לא יודע).
- הדברים הבאים חלים על אקסטרום: 4 ¶ r - 1000 / r² = 0.
- מכאן אתה מחשב r³ = 250 / ¶ ו- r = 4.3 ס"מ (שורש שלישי ב- TR). הקופסה המינימלית שלך היא בקוטר של כמעט 9 ס"מ.
- כעת תוכל לחשב את גובה h הפחית מהמצב המשני (ראה. נקודה 8.) עד h = 8.6 ס"מ. לכן הקוטר והגובה תואמים.
אתה יודע כמה גדלים של גליל כגון קוטר או ...
מתמטיקה ומציאות - מטילים ספק בתוצאה באופן ביקורתי
אבל האם בירה באמת יכולה להיראות כך, בערך כמו שהיא רחבה? חיי היומיום סותרים את התוצאה של מָתֵימָטִיקָה ברור שהפחיות גבוהות יחסית, כל כך צרות יותר וכמובן לניהול יותר. עדיין לא ברור אם רצונותיו של הלקוח נמצאים כאן בחזית. ועוד צריך לקחת בחשבון: פחיות בירה אינן מתמלאות למעלה, כלומר גדולות מ -500 מ"ל. בנוסף, ניתן כמובן את צורת הגליל האידיאלית.
- עם זאת, משהו לא נלקח בחשבון בכל הנוגע לצריכת חומרים: יש בזבוז! הוא נוצר כאשר המעגלים נחתכים. לא ידוע אם היא תימס שוב או תיפטר. בכל מקרה, מדובר בהפסד לחברה. אולי תחשיב מחדש את משימת הערך הקיצוני של הפחית האופטימלית תוך התחשבות בפסולת זו.
- אז לא צריך שני עיגולים למשטח, אלא שני ריבועים בנוסף למשטח הצילינדר המלבני. התוצאה במקרה זה היא r = 4 ס"מ ו- h = 10 ס"מ, כך שהפחית הופכת צרה וגבוהה יותר. זה מדהים!
