מתוך גזע עץ גלילי ...
"מגזע עץ גלילי ..." מתחילה בעיית ערך קיצוני ידועה שכדאי לפתור בעזרת חשבון דיפרנציאלי. אבל איך אתה יכול להמשיך כאן?
מהן בעיות ערכיות קיצוניות?
לא משנה אם אתה קורא למשימות מסוג זה משימות בעלות ערך קיצוני, חישובי ערך מקסימלי או פשוט בעיות אופטימיזציה, עליך תמיד בהתחשב בעובדה גודל - בין אם זה השטח, הנפח או הזרימה או כושר העומס - גדול ככל האפשר, כלומר מקסימלי רָצוֹן. עקרון ההליך תמיד זהה:
- ברוב המקרים כדאי לערוך סקיצה קצרה של המשימה כדי לקבל סקירה כללית. בהתאם למצב, תוכל להזין שם אורכים או גדלים אחרים.
- עכשיו הגדר את מה שנקרא. הפונקציה האובייקטיבית פועלת, כלומר הגודל שאמור להיות מקסימלי (או לפעמים גם מינימלי) במשימה. זה יכול להיות, למשל, האזור, עוצמת הקול או ה- זָוִית לִהיוֹת. קרא את הטקסט בזהירות.
- פונקציה אובייקטיבית זו מכילה בדרך כלל יותר מאחד לא ידוע, באופן כללי ישנם שני ערכים שהם תלויים בהם, למשל הרוחב והאורך של משטח.
- על מנת להחליף אחד משני האלמונים הללו, עליך לחלץ את מה שנקרא גיבוש תנאים משניים. כאן, כביכול, הנתון נכנס. זה יכול להיות רדיוס, גובה או אולי אפילו אזור נתון. גם כאן עליך לבחון היטב את המשימה, כיוון שהמצב המשני נובע לעתים מהגדלים בשרטוט, כמו בדוגמה להלן.
- עכשיו תפתור את האילוץ לאחד משני האלמונים. בחר את הגודל שקל יותר לחשב אותו.
- כעת אתה מכניס משתנה זה לפונקציה האובייקטיבית, שתלויה אז רק בלא ידוע אחד (אתה יכול לקרוא לזה בביטחון "x").
- עבור פונקציה אובייקטיבית זו אתה מחפש ערך מקסימלי או, באופן כללי, את הערכים הקיצוניים - לכן יש ליצור את הגזירה.
- גזרו את הפונקציה האובייקטיבית על פי הלא נודע וקבעו את הנגזרת = 0, התנאי לערך קיצוני.
- חשב את הלא נודע ממשוואה זו. אם יש לך מספר פתרונות, עדיין עליך לבדוק האם יש למעשה מקסימום (או מינימום) הוא (2. נגזר).
- במשימות רבות, יש לקבוע גם את הלא נודע. אתה מכיר את המשוואה לכך מהמצב המשני.
פונקציות רציונליות לחלוטין - יש לקחת זאת בחשבון בעת החישוב
פונקציות רציונליות הן נושא המתמטיקה בבית הספר, בעיקר בכיתה י"א. שנת לימודים. ה …
"מתוך עץ גלילי" - דוגמה
מגזע עץ גלילי (בעל חתך עגול) בקוטר d = 30 ס"מ יש לנסר קורה בעלת חתך מלבני בצורה כזו שיש לה את יכולת הנשיאה הגבוהה ביותר האפשרית יש ל.
- קודם כל, צייר ציור בו אתה מצייר גם את קוטר הסרגל והמלבן. אגב, לא צריך כאן ייצוג תלת מימדי; די בחתך לרוחב הקורה.
- כעת ציינו, למשל, את רוחב החתך עם x וגובה המלבן המשורטט עם y. אתה יכול לראות שקוטר d חייב להיות האלכסוני במלבן הזה (זכור אותו היטב!).
- כושר הנשיאה כעת פרופורציונאלי לרוחב (x) ולריבוע הגובה (y²). אתה יכול לקרוא על זה באינטרנט או בספר טכני (למרבה הצער, "צוק" במשימה זו!).
- יכולת נשיאה זו צריכה להיות מקסימלית, ולכן היא הפונקציה האובייקטיבית שלך ויכולה להיות עם T (x, y) = x * y² (אתה יכול להשמיט בבטחה גורם מידתיות הכרחי).
- עכשיו אתה צריך את המצב המשני, הכולל את הגודל שצוין (כאן "d"). מבט על הציור שלך מראה x² + y² = d² (Pythagoras). ואתה מקבל y² = d² - x². כעת הכנס את הקשר הזה לפונקציה האובייקטיבית.
- אתה מקבל: T (x) = x * (d²-x²) = d²x-x³; הפונקציה האובייקטיבית תלויה רק ב" x "הלא ידוע וניתנת להבחנה: T '(x) = d² - 3x².
- אתה מחפש את הערך הקיצוני, כלומר d² - 3x² = 0 ו- x = d / √3 = 30 ס"מ / √3 ≈ 17.32 ס"מ (2 מקומות מאחורי הנקודה העשרונית מספיקים כאן), רוחב החתך. אינך צריך לשים לב לשורש השלילי כאן.
- אתה מקבל את הגובה y מ y² = d² - x² ל- y = 24.5 ס"מ. המשימה נפתרה!
עליכם לנסר מלבן ברוחב 17.32 ס"מ וגובהו 24.5 ס"מ מגזע העץ הגלילי.
