Algoritma Gaussian dari sistem persamaan linier dijelaskan secara singkat

instagram viewer

Anda menemukan sistem persamaan linier untuk pertama kalinya di sekolah menengah pertama di sekolah menengah. Sejak saat itu Anda akan menemukan sistem persamaan linier berulang kali, asalkan Anda memutuskan profesi teknis atau sering dihadapkan dengan masalah matematika. Algoritma Gauss digunakan untuk solusi sistem persamaan yang sederhana dan tidak ambigu.

Dengan sistem persamaan linier, mudah kehilangan jejak!
Dengan sistem persamaan linier, mudah kehilangan jejak!

Apa yang kau butuhkan:

  • Skema solusi
  • pengetahuan matematika dasar
  • Pena
  • kertas

Fakta menarik tentang sistem persamaan linear

Jika Anda memecah istilah "sistem persamaan linier" menjadi komponen kata individual, Anda akan mendapatkan gambaran sederhana tentang apa itu LGS.

  • LGS terdiri dari beberapa yang linier persamaan, di mana berbagai parameter yang awalnya tidak diketahui terjadi. Linear berarti bahwa parameternya tidak dalam Potensi masing-masing akar kejadian. Misalnya persamaan x1+ 2x22 = 3 tidak dapat menjadi bagian dari sistem persamaan linier, karena parameter x2 terjadi pada kekuatan kedua.
  • Persamaan yang berbeda dapat diatur dengan pemodelan atau mereka hanya diberikan dalam tugas. Contoh: Dalam pengiriman truk, tiga bagian (x1, x2, x3) disampaikan, yang harganya p1 = 1 euro, p2 = 2 euro dan p3 = Memiliki 3 euro. Nilai total pengiriman adalah 1.000 euro. Informasi ini dapat diringkas dalam persamaan 1x1+ 2x2+ 3x3 = 1.000, di mana x1, x2 dan x3 sesuai dengan jumlah yang awalnya tidak diketahui dari tiga bagian.
  • Dengan cara ini persamaan lebih lanjut dapat dibuat. Dalam contoh ini, kebutuhan ruang dari suku cadang dan volume truk dapat dibayangkan.
  • Setelah semua persamaan linier dibuat, LGS dapat diselesaikan, yaitu penentuan parameter x yang tidak diketahui1, x2 dan x3. Di sinilah algoritma Gaussian berperan, yang dengannya Anda dapat menyelesaikan LGS langkah demi langkah sesuai dengan skema yang ditentukan dengan jelas.
    • Metode simpleks optimasi linier dijelaskan secara sederhana

    Optimasi linier adalah tentang alokasi optimal sumber daya yang langka untuk ...

  • Ada tiga opsi untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Jika Anda sedikit lebih berpengalaman, Anda sudah akan melihat sebelum menerapkan skema solusi apakah LGS memiliki satu, tidak ada atau jumlah solusi yang tak terbatas.
  • LGS dengan dua persamaan x1+ x2 = 1 dan x1+ 2x2 Misalnya, = 1 tidak memiliki solusi karena kedua persamaan tidak dapat dipenuhi secara bersamaan. Ada tepat satu solusi jika jumlah parameter yang tidak diketahui sama dengan jumlah persamaan, tidak ada kontradiksi dan semua persamaan (masing-masing berpasangan) bebas linier. Peringkat matriks milik LGS kemudian persis sama dengan jumlah yang tidak diketahui. Jika peringkatnya lebih kecil, ada banyak solusi yang tak terhingga (lihat contoh).

Contoh penerapan algoritma Gaussian

  1. Dengan memodelkan masalah, Anda memiliki tiga persamaan 2x1+ x2-3x3 = 6, x1-2x2-x3 = 2 dan -4x1-2x2+ 6x3 = -12 diatur.
  2. Sekarang tulis ketiga persamaan ini satu di bawah yang lain. Saat menerapkan algoritma Gaussian, Anda secara bertahap menghilangkan variabel. Mereka tahu bahwa transformasi garis dasar tidak mengubah ruang solusi.
  3. Sekarang tuliskan persamaan pertama tidak berubah. Kalikan persamaan kedua dan ketiga sehingga ketika ditambahkan ke baris pertama, persamaan baru ini tidak memiliki x1 mengandung lebih banyak. Jadi, Anda mengalikan persamaan kedua dengan -2 (karena x1 dalam persamaan kedua dan 2x1 dalam persamaan pertama) dan menambahkannya ke baris pertama. Demikian juga, bagi persamaan ketiga dengan dua dan tambahkan ke persamaan pertama.
  4. Pada langkah berikutnya Anda memiliki dua persamaan di mana hanya parameter x2 dan x3 Muncul. Sekarang tuliskan persamaan kedua dan kalikan persamaan ketiga sedemikian rupa sehingga ketika ditambahkan ke persamaan kedua, x2 dihilangkan. Jika Anda memiliki persamaan lain, lanjutkan dengan cara yang sama.
  5. Dalam persamaan terakhir Anda hanya memiliki variabel x3 yang sekarang dapat Anda tentukan. Memasukkan hasilnya ke dalam dua persamaan lainnya memberi Anda nilai untuk x2 dan x1.
  6. Namun, dalam contoh ini, ada kasus khusus. Pada langkah 3, jika Anda membagi persamaan ketiga dengan 2 dan menambahkannya ke persamaan pertama, Anda hanya mendapatkan 0x1+ 0x2+ 0x3 = 0. Alasannya sederhana: Persamaan 1 dan Persamaan 3 bergantung linier, karena persamaan ketiga diperoleh dengan mengalikan persamaan pertama dengan -2.
  7. Anda dapat mencoret garis nol dan mengetahui bahwa peringkatnya hanya 2 dan LGS memiliki jumlah solusi yang tidak terbatas, asalkan tidak ada kontradiksi.
  8. Jadi setelah langkah 3 dan 6 Anda memiliki dua persamaan 2x1+ x2-3x3 = 6 dan 5x2-x3 = 2. Anda memiliki tingkat kebebasan. Jadi berikan x1 dan x2 tergantung x3 dan Anda berada di sana.
  9. Persamaan kedua menyiratkan x2 = 2/5 + 1 / 5x3.
  10. Jika Anda menempatkan x2 ke persamaan pertama, kita mendapatkan: 2x1+ 2/5 + 1 / 5x3-3x3 = 6. Resolusi ke x1 menghasilkan: x1 = 14/5 + 7/5x3.
  11. Dengan demikian, ruang solusi melalui L = {(14/5 + 7 / 5x .)3; 2/5 + 1 / 5x3; x3)} menunjukkan. Ada sejumlah solusi yang tak terbatas. Untuk x3 = 1, misalnya, solusi (21/5; 3/5; 1). Sebagai ujian, Anda dapat memasukkan solusi ini ke persamaan asli dan Anda akan menemukan bahwa solusi ini sebenarnya adalah solusi dari LGS.

Jalankan algoritma Gaussian dalam contoh lebih lanjut untuk menginternalisasikannya. Anda dapat menentukan sendiri nilai numeriknya.

Seberapa membantu menurut Anda artikel ini?

click fraud protection