VIDEÓ: Az optimális
Az optimális lehet - extrém értékprobléma
A gyártók a lehető legkevesebb anyagot szeretnék használni a dobozokhoz, és a sörösdobozoknak kéznél kell lenniük. Tehát hogyan kell nekik Méretek 0,5 l űrtartalmú hengeres konzervet kell úgy választani, hogy a lehető legkevesebb anyagra legyen szükség? És a gyártók egyáltalán betartják ezeket az optimális méreteket? Ez a feladat elsőre értelmetlennek hangzik, mert a doboz polcára pillantva kiderül, hogy a gyártók Összességében a konzervdobozokat egységessé, azaz azonos magasságú és átmérőjűvé kell tenni Válassza a lehetőséget. De ez talán csak a szokásos töltőgépeknek köszönhető? Vagy azért, mert a dobozok könnyen kezelhetők a kiválasztott formában?
- Ezek a kérdések matematikából ellenőrizhetők. Röviden, a feladat a következő: milyen átmérőre (vagy sugárra) és milyen magasságra van szüksége a kannás hengerhez úgy válasszon, hogy a doboz 0,5 l térfogatot tartson, és a felülete (vagyis az anyagfelhasználás) a lehető legkisebb legyen akarat.
- Ez egy extrém értékű probléma, amelynek fő feltétele (a felület minimális legyen) másodlagos feltétellel (térfogata 0,5 = 500 cm³).
- Az ilyen problémák kezelésekor először a fő és a másodlagos feltételeket is egyenletként kell beállítania. Ebben az esetben a hengerkör r sugara és a henger magassága a két ismeretlen (amelyet ki szeretne számítani).
- A képletben megkeresheti a henger V térfogatának és F felületének képleteit. Vegye figyelembe, hogy a henger felülete két körből és egy téglalapból (a hengerköpenyből) áll.
- Az alábbiak érvényesek: V = ¶ r² * h = 500 cm³ másodlagos feltételként és F = 2 ¶ r² + 2 ¶ r * h a fő feltétel, amelynek minimálisnak kell lennie.
- A fő feltétel kezdetben tartalmazza a két ismeretlent r és h. A másodlagos feltételtől most elválaszthatja a két ismeretlen egyikét (a h hasznos, mert könnyebb kiszámítani), és beillesztheti a fő feltételbe. Az eljárás hasonló ahhoz, hogy két egyenletet két ismeretlennel helyettesítünk. Csak itt van nálad Funkciók csinálni.
- Kapjuk a h = 500 / ¶ r² értéket (a cm³ kimarad a további számításhoz; az eredményt ezután "cm" egységben kell kiszámítani, és ezt az F felületbe kell tenni.
- F (r) = 2 ¶ r² + 2 ¶ r * (500 / ¶ r²) = 2 ¶ r² + 1000 / r, ami azt jelenti, hogy a konzervdoboz felülete most csak a sugarától függ.
- A feladatnak megfelelően a felületnek minimálisnak kell lennie, ezért extrém értékét keresi ennek a funkciónak.
- Ehhez származtassa le az F (r) értéket az r változó szerint, és állítsa a deriváltot nullára.
- Kiszámítja F '(r) = 4 ¶ r - 1000 / r² (ha nem tudja, megnézheti az 1 / r levezetését a képletben).
- Az extremumra a következő vonatkozik: 4 ¶ r - 1000 / r² = 0.
- Ebből kiszámítja az r³ = 250 / ¶ és az r = 4,3 cm értéket (a TR harmadik gyöke). A minimális doboz átmérője majdnem 9 cm.
- Most kiszámíthatja a doboz h magasságát a másodlagos feltételből (vö. 8. pont) - h = 8,6 cm. Ezért az átmérő és a magasság megegyezik.
Ismer néhány hengerméretet, például átmérőt vagy ...
Matematika és valóság - kritikusan megkérdőjelezi az eredményt
De vajon egy sör valóban így nézhet ki, körülbelül olyan magasra, mint amilyen széles? A mindennapi élet ellentmond az eredménynek matematika Nyilvánvaló, hogy a dobozok viszonylag magasabbak, így keskenyebbek és természetesen kezelhetőbbek. Továbbra is bizonytalan, hogy az ügyfél kívánságai állnak -e itt előtérben. És még valamit figyelembe kell venni: A sörösdobozok nincsenek feltöltve a tetejére, azaz 500 ml -nél nagyobbak. Ezenkívül természetesen az ideális hengerforma is megadásra kerül.
- Az anyagfogyasztásnál azonban valamit nem vettek figyelembe: hulladék van! A körök kivágásakor jön létre. Nem tudni, hogy újra felolvasztják -e vagy ártalmatlanítják. Mindenesetre veszteség a cég számára. Talán újraszámítja az optimális konzerv extrém értékű feladatát, figyelembe véve ezt a hulladékot.
- Ekkor nem két kör kell a felülethez, hanem két négyzet a téglalap alakú hengerfelület mellett. Az eredmény ebben az esetben r = 4 cm és h = 10 cm, így a doboz keskenyebb és magasabb lesz. Ez döbbenetes!
