किसी फ़ंक्शन के पावर सीरीज़ के विस्तार के बारे में बताया

मैक लॉरिन श्रृंखला में एक समारोह का विकास

बेशक, हर मनमाना कार्य एक शक्ति श्रृंखला में विकसित नहीं किया जा सकता है। बल्कि, एक फ़ंक्शन को कुछ मानदंडों को पूरा करना चाहिए ताकि इस प्रक्रिया का बिल्कुल भी उपयोग किया जा सके। सभी साधारण लोगों की तरह अच्छा कार्योंआप रोज़मर्रा की ज़िंदगी में इन मानदंडों को पूरा करते हैं, यह कदम यहाँ छोड़ दिया गया है। हालांकि, आप तुरंत देखेंगे कि विचाराधीन फ़ंक्शन किसी भी मामले में जितनी बार आवश्यक हो (आवश्यक स्थिति) अलग-अलग होना चाहिए।

1. मान लें कि किसी भी फ़ंक्शन f को विशिष्ट रूप से एक निश्चित शक्ति श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है। तब इस फ़ंक्शन को एक पावर फ़ंक्शन के रूप में दर्शाया जा सकता है। निम्नलिखित लागू होता है: f (x) = a₀+ ए₁एक्स¹+ ए₂एक्स²+ ए₃एक्स³+ ए₄एक्स⁴+...
2. सबसे पहले विकास बिंदु x
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   ₀ = 0 माना जाता है। इस विकास बिंदु के आसपास के वातावरण में, फ़ंक्शन को जितनी बार आवश्यक हो, अलग-अलग होना चाहिए।
3. अब आप कर सकते हैं संजात समारोह का। एफ '(एक्स) = ए₁+ 2a₂एक्स¹+ 3a₃एक्स²+ 4a₄एक्स³+..., f '' (x) = 2a₂+ 6a₃एक्स¹+ 12a₄एक्स²+..., एफ (एक्स) = 6a₃+ 24a₄एक्स +..., एफ (एक्स) = 24a₄+...
4. विकास बिंदु x. पर₀ = 0 तब: f (0) = a₀, एफ '(0) = ए₁, च '' (0) = 2a₂, च (0) = 6a₃, च (0) = 24a₄...


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5. यदि आप गुणांकों को ध्यान से देखें, तो आप देखेंगे कि वे भाज्य की तरह व्यवहार करते हैं (हमारे पास (n!)_NN = 1, 2, 6, 24, 120,... और इसके अतिरिक्त (0!) = 1)।
6. फ़ंक्शन को विकसित करते समय इसे ध्यान में रखें, आपको f (0) = (0!) A. मिलता है₀, च '(0) = (1!) ए₁, च '' (0) = (2!) ए₂, एफ (0) = (3!) ए₃, एफ (0) = (4!) ए₄.
7. यदि आप अब गुणांकों के अनुसार बदलते हैं, तो आपको प्राप्त होता है a₀ = एफ (0) / 0!, ए₁ = एफ '(0) / 1!, ए₂ = एफ '' (0) / 2!, ए₃ = एफ (0) / 3!, ए₄ = एफ (0) / 4!, ...
8. आप गुणांक देख सकते हैं a_एन शिक्षा अधिनियम का पालन करें a_एन = एफ^(एन)(0) / एन!
9. अब आप अपने नए निष्कर्षों को आउटपुट फ़ंक्शन f में स्थानांतरित कर सकते हैं, इसलिए f (x) = f (0) / 0! + [F '(0) / 1!] * X लागू होता है¹+ [एफ '' (0) / 2!] x²+ [च (0) / 3!] x³+ [च (0) / 4!] x⁴+... = Σ_{एन = 0} [एफ^(एन)(0) / एन!] एक्स^एन. इस अनंत श्रृंखला को मैक लॉरिन श्रृंखला कहा जाता है।
10. यह जानकारी अब आपके लिए क्या लाती है? किसी भी फ़ंक्शन के लिए जिसे पावर फ़ंक्शन में विकसित किया जा सकता है, आपको केवल डेरिवेटिव निर्धारित करना है और आप इस फ़ंक्शन को अनंत श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं।

उदाहरण: f (x) का घात श्रेणी विस्तार = sin (x)

उपरोक्त योजना को समझने का सबसे अच्छा तरीका यह है कि इसे सीधे एक सरल उदाहरण पर लागू किया जाए। ऐसा करने के लिए, फलन f (x) = sin (x) पर विचार करें। जैसा कि आप जानते हैं, इस फ़ंक्शन को कितनी भी बार विभेदित किया जा सकता है।

1. सबसे पहले, पहले चार लीड निर्धारित करें। निम्नलिखित लागू होता है: f '(x) = cos (x), f' '(x) = -sin (x), f (x) = -cos (x), f (x) = sin (x).. . यहाँ से सब कुछ चार के चक्र में दोहराया जाता है।
2. अब विकास बिंदु पर विचार करें x₀ = 0, फिर f (0) = 0, f '(0) = 1, f' '(0) = 0, f (0) = -1, f (x) = 0 ...
3. अब मैक लॉरिन श्रृंखला में डेरिवेटिव डालें। एफ (एक्स) =_{एन = 0} [एफ^(एन)(0) / एन!] एक्स^एन = 0 + x¹/1!+0-x³/3!+0+x⁵/5!+...= x¹/1!-x³/3!+x⁵/5!+...= Σ_{एन = 0} (-1)^एनएक्स^{2एन + 1}/(2n+1)!
4. तो आपको एक वैकल्पिक श्रृंखला मिलती है, जिसका अभिसरण आप लीबनिज़ मानदंड के साथ साबित कर सकते हैं, उदाहरण के लिए। श्रृंखला के प्रत्येक दूसरे सदस्य को छोड़ दिया जाता है क्योंकि sin (0) = 0. आप पूरी तरह से समान रूप से कोसाइन की शक्ति श्रृंखला निर्धारित कर सकते हैं (समाधान:_{एन = 0} (-1)^एनएक्स^२एन/(2n)! ).

उदाहरण: f (x) का विस्तार = e^एक्स एक शक्ति श्रृंखला में

1. ई. का विकास^एक्स एक शक्ति श्रृंखला में विशेष रूप से आसान है। हमारे पास f (x) = f. है^(एन)(एक्स) = ई^एक्स N∈N.
2. यदि आप उसी योजना के अनुसार आगे बढ़ते हैं, तो आपको f. के कारण प्राप्त होगा^(एन)(0) = ई⁰ = 1 निम्नलिखित पंक्ति: f (x) = 1+ (1/1!) X¹+ (1/2!) एक्स²+ (1/3!) एक्स³+...= Σ_{एन = 0} एक्स^एन/n!

मैक लॉरिन श्रृंखला से टेलर श्रृंखला तक

मैक लॉरिन श्रृंखला के साथ आपके पास केवल विशेष विकास बिंदु है x₀ = 0 माना जाता है। अगले चरण में, इस प्रतिबंध को हटा दिया जाना चाहिए और किसी भी विकास बिंदु x = x * पर विचार किया जाना चाहिए।

• सिद्धांत रूप में, आप मैक लॉरिन श्रृंखला प्राप्त करते समय वही विचार करते हैं।
• आपको घात श्रेणी f (x) = f (x *) + (f '(x *)/1!) (X-x *) प्राप्त होती है।¹+ (एफ '' (एक्स *) / 2!) (एक्स-एक्स *)²+ (एफ (एक्स *) / 3! (एक्स-एक्स *)³+...= Σ_{एन = 0} [एफ^(एन)(एक्स *) / एन!] (एक्स-एक्स *)^एन x * के साथ विकास बिंदु के रूप में।

x * = 0 के लिए टेलर श्रृंखला मैक लॉरिन श्रृंखला में बदल जाती है। मैक लॉरिन श्रृंखला टेलर श्रृंखला का एक विशेष मामला है। व्यवहार में, टेलर श्रृंखला मैक लॉरिन श्रृंखला की तुलना में बहुत अधिक व्यापक है क्योंकि कोई भी विकास केंद्र संभव है। बेहतर समझ और व्युत्पत्ति के लिए, हालांकि, पहले श्रृंखला के सरल संस्करण को देखना समझ में आता है।