D'un tronc d'arbre cylindrique...

Quels sont les problèmes de valeurs extrêmes ?

Que vous appeliez ces types de tâches des tâches de valeur extrême, des calculs de valeur maximale ou simplement des problèmes d'optimisation, vous devez toujours étant donné une taille - que ce soit la surface, le volume ou le débit ou la capacité de charge - aussi grande que possible, c'est-à-dire maximale volonté. Le principe de la procédure est toujours le même :

1. Dans la plupart des cas, vous devez faire un bref croquis de la tâche pour avoir une vue d'ensemble. Selon la situation, vous pouvez y entrer des longueurs ou d'autres tailles.
2. Maintenant, définissez le soi-disant. Fonction objectif activée, c'est-à-dire la taille qui doit être maximale (ou parfois aussi minimale) dans la tâche. Il peut s'agir, par exemple, de la surface, du volume ou de la angle être. Lisez le texte avec attention.
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3. Cette fonction objectif contient généralement plus d'une inconnue, en général il y a deux valeurs dont elle dépend, par exemple la largeur et la longueur d'une surface.
4. Afin de remplacer l'une de ces deux inconnues, vous devez extraire le soi-disant Formuler des conditions secondaires. Ici, pour ainsi dire, le donné entre en jeu. Cela peut être un rayon, une hauteur ou peut-être même une zone donnée. Ici aussi, vous devez regarder de près la tâche, car la condition secondaire résulte souvent des tailles dans le dessin, comme dans l'exemple ci-dessous.


Fonctions complètement rationnelles - cela doit être pris en compte lors du calcul

Les fonctions rationnelles sont le sujet des mathématiques scolaires, principalement en 11e année. Année scolaire. Les …

5. Résolvez maintenant la contrainte pour l'une des deux inconnues. Choisissez la taille la plus facile à calculer.
6. Vous insérez maintenant cette variable dans la fonction objectif, qui ne dépend alors que d'une inconnue (vous pouvez appeler cela en toute confiance "x").
7. Pour cette fonction objectif vous recherchez une valeur maximale ou en général la ou les valeurs extrêmes - la dérivation doit donc être formée.
8. Dérivez la fonction objectif en fonction de l'inconnue et définissez la dérivée = 0, la condition pour une valeur extrême.
9. Calculer l'inconnue à partir de cette équation. Si vous avez plusieurs solutions, vous devez quand même vérifier s'il y a effectivement un maximum (ou un minimum) est (2. Dérivé).
10. Dans de nombreuses tâches, l'autre inconnue doit également être déterminée. Vous connaissez l'équation pour cela à partir de la condition secondaire.

"À partir d'une bûche cylindrique" - un exemple

A partir d'un tronc d'arbre cylindrique (celui-ci a une section transversale circulaire) avec un diamètre d = 30 cm une poutre de section rectangulaire doit être sciée de manière à avoir la capacité de charge la plus élevée possible A.

1. Tout d'abord, faites un dessin dans lequel vous dessinez également le diamètre de la barre et du rectangle. Soit dit en passant, vous n'avez pas besoin d'une représentation tridimensionnelle ici; une coupe transversale de la poutre est suffisante.
2. Notons maintenant, par exemple, la largeur de la section transversale avec x et la hauteur du rectangle dessiné avec y. Vous pouvez voir que le diamètre d doit être la diagonale dans ce rectangle (rappelez-vous !).
3. Pour la capacité portante, il s'applique maintenant que celle-ci est proportionnelle à la largeur (x) et au carré de la hauteur (y²). Vous pouvez lire à ce sujet sur Internet ou dans un livre technique (malheureusement, une "falaise" dans cette tâche !).
4. Cette capacité de charge doit être maximale, c'est donc votre fonction objectif et peut être avec T (x, y) = x _* y² (vous pouvez omettre en toute sécurité un facteur de proportionnalité nécessaire).
5. Vous avez maintenant besoin de la condition secondaire, qui inclut la taille spécifiée (ici "d"). Un coup d'œil à votre dessin montre x² + y² = d² (Pythagore). Et vous obtenez y² = d² - x². Insérez maintenant cette relation dans la fonction objectif.
6. Vous obtenez: T (x) = x _* (d²-x²) = d²x-x³; la fonction objectif ne dépend que de l'inconnue "x" et peut être différenciée: T'(x) = d² - 3x².
7. Vous recherchez la valeur extrême, c'est-à-dire d² - 3x² = 0 et x = d / √3 = 30 cm / √3 17,32 cm (2 décimales suffisent ici), la largeur de la section. Vous n'avez pas besoin de faire attention à la racine négative ici.
8. Vous obtenez la hauteur y de y² = d² - x² à y = 24,5 cm. Tâche résolue !

Il faut scier un rectangle de 17,32 cm de large et 24,5 cm de haut à partir du tronc d'arbre cylindrique.