Expliquer la fonction différentielle d'une manière compréhensible au professeur de mathématiques

De quoi as-tu besoin:

• Papier et crayon pour croquis
• calculatrice

Voici comment vous expliquez la fonction différentielle en calcul

1. Habituellement, la fonction différentielle est introduite via la pente d'une tangente. Le centre d'intérêt est la question de la pente d'une fonction.
2. Peut-être commencerez-vous par un cas très simple (et bien connu), à savoir un Lignes droites. Dans le cas des droites y = mx + b, la pente est relativement facile à déterminer, c'est le nombre "m" qui se trouve devant le x. Plus la pente m est grande, plus la ligne droite est raide. Si le "m" est négatif, la droite tombe. Jusque-là, il n'y a généralement pas de problème mental.
3. Sélectionnez maintenant la parabole normale y = x² comme exemple suivant. Le graphique de fonction doit être enregistré.
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4. Il devient rapidement évident que cette fonction a des pentes différentes dans des points individuels. Par exemple, la pente à x = 0 est en fait nulle, à x = 2 elle est supérieure à x = 1. On peut essayer de créer des tangentes qui reflètent le comportement de gradient de la fonction et (avec des triangles de gradient) déterminent son gradient - une approximation graphique du problème.
5. Mais comment aborder mathématiquement et développer ainsi la fonction différentielle? Ici aussi, avant la généralisation, des exemples de calcul aident.


Fonction - calcul de b

La constante "b" doit être calculée pour une fonction. Cela ne peut être que...

6. Restez avec la parabole normale et, comme approximation pour la pente de la tangente, placez d'abord des sécantes sur la parabole. Par exemple, si vous souhaitez calculer la pente de la tangente au point P0 (2/4), sélectionnez P1 (3/9) comme premier point auxiliaire et calculez la pente de la sécante correspondante (triangle de pente). Cette pente n'est bien sûr pas une bonne valeur, il faut donc rapprocher le point, par exemple P2 (2,5 / 6,25). Calculez à nouveau la pente de la sécante.
7. Créez un tableau dans lequel vous entrez les points P1, P2 etc. Entrez la valeur de la pente derrière elle. Continuez à diviser par deux la distance jusqu'à P0. Après trois ou quatre pas au plus tard, l'élève remarquera qu'il existe une valeur limite pour les pentes calculées (soit 4), qui correspond alors à la pente tangente en P0.
8. Bien sûr, cette procédure de calcul et de table pourrait être répétée maintes et maintes fois pour chaque point de la parabole et pour chaque fonction... mais cela demande du temps et de la patience. Une base de calcul générale (et mieux encore: une formule) serait donc la bonne solution pour résoudre le problème une fois pour toutes.
9. Et vous êtes déjà à la généralisation, à savoir la fonction différentielle, qui n'est rien de plus qu'un Prise en compte de la valeur limite des pentes sécantes si le point échantillon se rapproche de plus en plus du point pour lequel la Vous voulez calculer la pente.
10. Et cette fonction différentielle peut être configurée pour n'importe quelle fonction, pas seulement pour Paraboles. Au final, en considérant les valeurs limites, on arrive aux règles de dérivation, par exemple pour les fonctions puissance.