Résoudre des intégrales impropres expliquées simplement

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Le calcul différentiel et intégral fait partie de la leçon de mathématiques au niveau supérieur du lycée. En tant qu'étudiant, vous rencontrerez tôt ou tard des intégrales impropres qui diffèrent des Différencier les intégrales "ordinaires", mais pas beaucoup plus difficiles à résoudre avec les bons outils sommes.

Que sont les intégrales impropres ?

Les intégrales incorrectes sont des intégrales qui, à première vue, ne doivent pas différer des intégrales ordinaires. La meilleure façon de visualiser les intégrales impropres est de faire un croquis. Si vous intégrez une fonction, l'intégrale correspond à l'aire sous la courbe. Mais que se passe-t-il si la fonction tend à atteindre l'infini à une limite d'intégration ?

  • La même difficulté se pose lorsque la fonction considérée a une asymptote horizontale ou verticale.
  • Au début, vous ne remarquerez peut-être pas le problème, mais commencez à faire l'intégrale comme utilisé pour résoudre, alors vous remarquerez au plus tard lorsque les limites fixées dans lesquelles vous n'êtes pas aller de l'avant.
  • Par exemple, considérons la fonction d'Euler f (x) = eX et essayez de les intégrer de moins l'infini à zéro. Si vous faites cela et mettez les limites, vous obtenez le terme "e0-e-", mais que signifie pour vous cette expression ?

Résoudre les intégrales impropres

  1. Vous pouvez résoudre très facilement les intégrales impropres si vous remplacez la limite d'intégration "problématique" par une variable qui Résolvez l'intégrale, puis effectuez une analyse de la valeur limite dans laquelle vous exécutez la variable par rapport à la "valeur problématique" d'origine permis.
    2. Integral dx - c'est ainsi que vous résolvez la tâche

    Même les mathématiciens intelligents peuvent être confus: signes intégraux et ...

  2. Dans l'exemple ci-dessus, vous résolvez l'intégrale eX dx avec les limites d'intégration u et 0. La primitive de f (x) = eX est F (x) = eX, car on a F'(x) = f(x).
  3. Si vous insérez maintenant les limites d'intégration, vous obtiendrez le terme e0-evous = 1-evous.
  4. Formez maintenant la valeur limite pour u -> -∞. Vous obtenez limvous 1-evous = 1.

Un autre exemple d'intégrales impropres

  1. La fonction g (x) = 1 / x2 doit être intégré sur l'intervalle 0 à 1. Vous savez que la fonction g a un pôle au point x = 0.
  2. Vous déterminez d'abord la primitive de la fonction g avec G (x) = -1 / x.
  3. Pour la limite d'intégration inférieure, remplacez d'abord v par 0, ce qui vous donne pour la zone A = -1 - (- 1 / v).
  4. Considérons maintenant la valeur limite (limv-> 0) pour v contre 0. Pour v vers 0, 1 / v tend vers + ∞ et comme il y a deux signes moins devant l'expression, l'aire A tend par conséquent vers l'infini.

Vous voyez, résoudre des intégrales impropres n'est pas si difficile du tout. Vous avez juste besoin de savoir par où commencer.

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