Lineaarinen riippumattomuus toiminnoista

Toiminnot voivat olla myös lineaarisesti riippumattomia

Tuttujen kaksi- tai kolmiulotteisen avaruuden vektoreiden lisäksi on muitakin joukkoja, jotka täyttävät vektoriavaruuden ehdot. Kaikki esimerkit ovat jatkuvia Toiminnot todellisen yli Laskenta R. (Sinun ei välttämättä tarvitse tietää, mitkä ovat vektoriavaruuden edellytykset ymmärtääksesi tätä paremmin.)

• Toiminnallisessa kontekstissa lineaarinen riippumattomuus tarkoittaa, että funktioiden joukko f_i kerääntyy tai täydellinen osajoukko tästä. Toisin sanoen: mitä tahansa funktiota, olipa se mielivaltainen, voidaan käyttää lineaarisena yhdistelmänä näistä perustoiminnoista f_i edustaa.
• Aivan kuten voit tutkia joukon vektoreita lineaarisen riippumattomuuden suhteen, voit tehdä saman myös joukon toimintoja. Yksinkertaisesti sanottuna joukko toimintoja f
  instagram viewer
  _i sitten lineaarisesti riippumaton, jos et voi esittää yhtäkään näistä funktioista muiden funktioiden lineaarisena yhdistelmänä.
• Matemaattisesti lineaarisen riippumattomuuden mukaan yhtälö ∑ a_i * f_i = 0 voidaan täyttää vain, jos kaikki (!) Real -kertoimet a_i = 0. Tämä viimeinen matemaattinen lauseke on myös testikriteeri funktiojoukolle f_i. Joten lopulta, aivan kuten vektoreilla, sinun on löydettävä yhtälö tuntemattomien kanssa a_i tutkia.

Lineaarinen riippumattomuus - esimerkkejä

• Esimerkki, joka usein valitaan lineaarisesti riippumattomien jatkuvien funktioiden joukolle R: n yli, on f₁(x) = x², f₂(x) = e^x ja f₃(x) = e^-x. Jopa alustava harkinta osoittaa, että mikään näistä kolmesta funktiosta ei voi ilmaista kahta jäljellä olevaa toimintoa. Karkeasti ottaen annetut toiminnot ovat aivan liian erilaisia. Myös yhtälö a₁x² + a₂e^x * a₃e^-x = 0 voidaan ratkaista vain, jos kaikki kertoimet a_i = 0.


Vektoreiden lineaarinen yhdistelmä - matematiikan asiantuntija selittää

Jos kohtaat vektorin lineaarisen yhdistelmän, olet ...

• Kaksi toimintoa f₁(x) = syn 2x, f₂Kuitenkin (x) = sinx * cos x ovat lineaarisesti riippuvaisia, koska voit muuntaa kaksoiskulman funktion toiseksi funktioksi kaavan avulla.
• (Ääretön) toimintojoukko f_i(x) = xⁱ, jossa indeksi i on luvut 0,1,2... kulkee läpi, muodostaa muuten lineaarisesti riippumattoman perustan täysin järkevien funktioiden vektoriavaruudelle. Lineaarinen riippumattomuus f_i voidaan helposti nähdä. Niin kutsuttu Vronskin determinantti.