Selitetty toiminnon tehosarjan laajennus

instagram viewer

Monet toiminnot voidaan muuntaa tehosarjaksi sopivan muunnoksen avulla. Mutta miten tämä oikein toimii ja mitä sinun pitäisi varoa? Näet, että tehosarjan laajentaminen ei ole niin vaikeaa, jos jatkat tietyn kaavan mukaisesti ja olet johtanut sen itse.

Toiminnon kehittäminen Mac Laurin -sarjassa

Kaikkia mielivaltaisia ​​toimintoja ei tietenkään voida kehittää tehosarjoiksi. Toiminnon on sen sijaan täytettävä tietyt kriteerit, jotta tätä menettelyä voidaan käyttää lainkaan. Yhtä hyvä kuin kaikki yksinkertaiset Toiminnotjos kohtaat jokapäiväisessä elämässäsi, täytä nämä kriteerit, tämä vaihe jätetään yksinkertaisesti huomiotta. Huomaat kuitenkin heti, että tarkasteltavan toiminnon on joka tapauksessa oltava eriytettävä niin usein kuin tarvitaan (välttämätön ehto).

  1. Oletetaan, että mikä tahansa funktio f voidaan laajentaa ainutlaatuisesti tiettyyn tehosarjaan. Sitten tämä toiminto voidaan esittää tehotoimintona. Pätee seuraava: f (x) = a0+ a1x1+ a2x2+ a3x3+ a4x4+...
  2. Ensin kehityspiste x0 = 0 huomioitu. Tätä kehityspistettä ympäröivässä ympäristössä toiminnon on oltava eriytettävä niin usein kuin tarvitaan.
  3. Nyt voit Johdannaiset toiminnosta. f '(x) = a1+ 2a2x1+ 3a3x2+ 4a4x3+..., f '' (x) = 2a2+ 6a3x1+ 12a4x2+..., f (x) = 6a3+ 24a4x +..., f (x) = 24a4+...
  4. Kehityspisteessä x0 = 0 sitten: f (0) = a0, f '(0) = a1, f '' (0) = 2a2, f (0) = 6a3, f (0) = 24a4...
    5. Laske ääriarvot - näin tehdään polynomeilla

    Laske polynomin ääripää ja anna suhteellinen maksimi ja minimi ...

  5. Jos tarkastelet kertoimia huolellisesti, huomaat, että ne käyttäytyvät kuten kertoimet (meillä on (n!)n∈N = 1, 2, 6, 24, 120,... ja lisäksi (0!) = 1).
  6. Pidä tämä mielessä, kun kehität funktiota, saat f (0) = (0!) A0, f '(0) = (1!) a1, f '' (0) = (2!) a2, f (0) = (3!) a3, f (0) = (4!) a4.
  7. Jos muutat nyt kertoimien mukaan, saat a0 = f (0) / 0!, a1 = f '(0) / 1!, a2 = f '' (0) / 2!, a3 = f (0) / 3!, a4 = f (0) / 4!, ...
  8. Näet kertoimet an noudattaa koulutuslakia an = f(n)(0) / n!
  9. Voit nyt siirtää uudet löydöksesi tulostustoimintoon f, joten f (x) = f (0) / 0! + [F '(0) / 1!] * X pätee1+ [f '' (0) / 2!] x2+ [f (0) / 3!] x3+ [f (0) / 4!] x4+... = Σn = 0 [f(n)(0) / n!] Xn. Tätä ääretöntä sarjaa kutsutaan Mac Laurin -sarjaksi.
  10. Mitä tämä tieto tuo sinulle nyt? Mille tahansa funktiolle, joka voidaan kehittää tehotoiminnoksi, sinun tarvitsee vain määrittää johdannaiset ja voit esittää tämän funktion ääretön sarja.

Esimerkki: f (x) = sin (x)

Paras tapa ymmärtää yllä oleva kaava on soveltaa sitä heti yksinkertaiseen esimerkkiin. Tarkastele tätä funktiota f (x) = sin (x). Kuten tiedät, tämä toiminto voidaan erottaa monta kertaa.

  1. Määritä ensin neljä ensimmäistä johtoa. Seuraava pätee: f '(x) = cos (x), f' '(x) = -sin (x), f (x) = -cos (x), f (x) = sin (x).. . Tästä eteenpäin kaikki toistetaan neljän jaksossa.
  2. Mieti nyt kehityskohtaa x0 = 0, sitten f (0) = 0, f '(0) = 1, f' '(0) = 0, f (0) = -1, f (x) = 0 ...
  3. Aseta nyt johdannaiset Mac Laurin -sarjaan. f (x) = Σn = 0 [f(n)(0) / n!] Xn = 0 + x1/1!+0-x3/3!+0+x5/5! +...= x1/1!-x3/3!+x5/5!+...= Σn = 0 (-1)nx2n + 1/(2n+1)!
  4. Joten saat vuorottelevan sarjan, jonka lähentymisen voit todistaa esimerkiksi Leibnizin kriteerillä. Sarjan jokainen toinen jäsen jätetään pois, koska sin (0) = 0. Voit määrittää kosinin tehosarjan täysin analogisesti (ratkaisu: Σn = 0 (-1)nx2n/(2n)! ).

Esimerkki: f (x) = e: n laajeneminenx voimasarjaksi

  1. Kehitys ex voimasarjaan on erityisen helppoa. Meillä on f (x) = f(n)(x) = ex ∀ n∈N.
  2. Jos jatkat saman kaavan mukaisesti, saat f: n takia(n)(0) = e0 = 1 seuraava rivi: f (x) = 1+ (1/1!) X1+ (1/2!) X2+ (1/3!) X3+...= Σn = 0 xn/n!

Mac Laurin -sarjasta Taylor -sarjaan

Mac Laurin -sarjassa sinulla on vain erityinen kehityspiste x0 = 0 huomioitu. Seuraavassa vaiheessa tämä rajoitus on poistettava ja mahdolliset kehityspisteet x = x * on otettava huomioon.

  • Periaatteessa teet samat näkökohdat kuin Mac Laurin -sarjaa johdattaessasi.
  • Saat tehosarjan f (x) = f (x *) + (f '(x *) / 1!) (X-x *)1+ (f '' (x *) / 2!) (x-x *)2+ (f (x *) / 3! (x-x *)3+...= Σn = 0 [f(n)(x *) / n!] (x-x *)n x * kehityspisteenä.

Jos x * = 0, Taylor -sarja muuttuu Mac Laurin -sarjaksi. Mac Laurin -sarja on Taylor -sarjan erikoistapaus. Käytännössä Taylor -sarja on paljon laajempi kuin Mac Laurin -sarja, koska mikä tahansa kehityskeskus on mahdollinen. Paremman ymmärryksen ja johtamisen vuoksi on kuitenkin järkevää tarkastella ensin sarjan yksinkertaisempaa varianttia.

click fraud protection