De un tronco de árbol cilíndrico ...
"Desde un tronco de árbol cilíndrico ..." inicia un conocido problema de valores extremos que debes resolver con la ayuda del cálculo diferencial. Pero, ¿cómo puedes proceder aquí?
¿Cuáles son los problemas de valor extremo?
Independientemente de si llama a este tipo de tareas tareas de valor extremo, cálculos de valor máximo o simplemente un problema de optimización, siempre debe dado un tamaño, ya sea el área, el volumen o el flujo o la capacidad de carga, lo más grande posible, es decir, el máximo voluntad. El principio del procedimiento es siempre el mismo:
- En la mayoría de los casos, debe hacer un breve bosquejo de la tarea para obtener una descripción general. Dependiendo de la situación, puede ingresar longitudes u otros tamaños allí.
- Ahora configure el llamado. Función objetiva activada, que es el tamaño que debe ser máximo (o en ocasiones también mínimo) en la tarea. Esto podría ser, por ejemplo, el área, el volumen o el ángulo ser. Lea el texto cuidadosamente.
- Esta función objetivo suele contener más de una incógnita, en general hay dos valores de los que depende, por ejemplo el ancho y el largo de una superficie.
- Para reemplazar una de estas dos incógnitas, debe extraer las llamadas Formular condiciones secundarias. Aquí, por así decirlo, entra lo dado. Puede ser un radio, una altura o incluso un área determinada. Aquí, también, debe observar de cerca la tarea, porque la condición secundaria a menudo resulta de los tamaños en el dibujo, como en el ejemplo siguiente.
- Ahora resuelva la restricción para una de las dos incógnitas. Elija el tamaño que sea más fácil de calcular.
- Ahora inserta esta variable en la función objetivo, que luego solo depende de una desconocida (puede llamar con confianza a esto "x").
- Para esta función objetivo, busca un valor máximo o, en general, el valor o valores extremos; por lo tanto, debe formarse la derivación.
- Derive la función objetivo para la incógnita y establezca la derivada = 0, la condición para un valor extremo.
- Calcula la incógnita a partir de esta ecuación. Si tiene varias soluciones, aún debe verificar si realmente hay un máximo (o un mínimo) es (2. Derivado).
- En muchas tareas, también se debe determinar la otra incógnita. Conoces la ecuación para esto a partir de la condición secundaria.
Las funciones racionales son el tema de las matemáticas escolares, principalmente en el undécimo grado. Año escolar. Los …
"De un tronco cilíndrico": un ejemplo
De un tronco de árbol cilíndrico (este tiene una sección transversal circular) con un diámetro d = 30 cm una viga con una sección transversal rectangular debe ser aserrada de tal manera que tenga la mayor capacidad de carga posible Tiene.
- En primer lugar, haz un dibujo en el que también dibujes el diámetro de la barra y el rectángulo. Por cierto, aquí no necesitas una representación tridimensional; un corte a través de la viga es suficiente.
- Ahora denote, por ejemplo, el ancho de la sección transversal con x y la altura del rectángulo dibujado con y. Puedes ver que el diámetro d debe ser la diagonal en este rectángulo (¡recuérdalo bien!).
- La capacidad de carga es ahora proporcional al ancho (x) y al cuadrado de la altura (y²). Puede leer sobre esto en Internet o en un libro técnico (desafortunadamente, ¡un "acantilado" en esta tarea!).
- Esta capacidad de carga debe ser máxima, por lo que es su función objetivo y puede ser con T (x, y) = x * y² (puede omitir con seguridad un factor de proporcionalidad necesario).
- Ahora necesita la condición secundaria, que incluye el tamaño especificado (aquí "d"). Una mirada a su dibujo muestra x² + y² = d² (Pitágoras). Y obtienes y² = d² - x². Ahora inserte esta relación en la función objetivo.
- Obtienes: T (x) = x * (d²-x²) = d²x-x³; la función objetivo sólo depende de la "x" desconocida y se puede diferenciar: T '(x) = d² - 3x².
- Está buscando el valor extremo, es decir, d² - 3x² = 0 y x = d / √3 = 30 cm / √3 ≈ 17.32 cm (2 dígitos detrás del punto decimal son suficientes aquí), el ancho de la sección transversal. No es necesario que prestes atención a la raíz negativa aquí.
- Obtienes la altura y de y² = d² - x² ay = 24,5 cm. ¡Tarea resuelta!
Hay que aserrar un rectángulo de 17,32 cm de ancho y 24,5 cm de alto del tronco cilíndrico del árbol.
