Función exponencial: derivación utilizando el cociente de diferencias

Observación preliminar: por lo general, la derivada de la función exponencial es f (x) = e^X mediante su función inversa, el logaritmo natural. En este caso, sin embargo, debe hacerse "completamente a pie" por encima del valor límite del cociente de diferencia.

El cociente de diferencias tiene la derivada como valor límite

1. El cociente de diferencias de cualquier función f (x) se puede representar en la forma [f (x + h) - f (x)] / h. Si la variable auxiliar "h" tiende a cero, la derivada f '(x) de la función se obtiene a partir del cociente de diferencias como valor límite.
2. Para la función exponencial f (x) = e^X Esto da como resultado el siguiente cociente de diferencias: [e^X+ h - e^X] / h, que puedes convertir a [e^X_*mi^H - e^X] / h = e^X _* [mi^H - 1] / h.
3. La derivada f '(x) de la función exponencial se puede obtener tomando el límite de esta expresión para "h" hacia cero. Como se muestra a continuación, [e
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   ^H - 1] / h se acerca al valor "1", de modo que f '(x) = e^X voluntad. Por tanto, la derivación de la función exponencial concuerda con la función original.

Función exponencial: examinada con más detalle

En el cruce fronterizo para el cálculo de la derivada, se utilizó el hecho de que la expresión [e^H - 1] / h tiene el valor límite "1" si la variable auxiliar "h" tiende a cero. Pero, ¿por qué es así?

• La forma más sencilla de conocer el comportamiento de [e^H - 1] / h Para proporcionar claridad, es natural utilizar el calculadora para calcular esta expresión para valores cada vez más pequeños de "h" (por ejemplo, h = 1/100, h = 1/1000, etc.). Rápidamente se hace evidente que en realidad se está acercando a "1". Sin embargo, esta no es una prueba matemática.
• Otra posibilidad es estimar la función exponencial para pequeños argumentos. A saber, e^H = 1 + h + h² / 2... El desarrollo de esta serie se puede interrumpir con seguridad después de 2 o 3 términos, porque "h" debe ser pequeña. Si se pone esta estimación en la expresión [e^H - 1] / h, se obtiene [1 + h + h² / 2 - 1] / h = [h + h² / 2] / h = [1 + h / 2] si se abrevia con el denominador. Como valor límite, esta expresión es en realidad "1" para h hacia cero.