La ley de los grandes números simplemente explicada

Introducción a la ley de los grandes números.

La ley de los grandes Contando La forma más fácil de entenderlo es usar un ejemplo particularmente simple. En una simple tirada de dados con un dado normal, hay seis resultados diferentes (los números del 1 al 6), todos los cuales tienen la misma probabilidad. Por ejemplo, P ("6 lanzados") = 1/6. Pero, ¿qué tiene esto que ver con la ley de los grandes números?

• Suponga que realiza este experimento aleatorio 100 veces en las mismas circunstancias y hace un recuento Con qué frecuencia ocurrieron los números del 1 al 6, entonces ha determinado las frecuencias absolutas de esta manera. Si pones esto en relación con el número de tiradas de dados, obtendrás las frecuencias relativas. Si tiene 100 lanzamientos, p. Ej. B. Si los seis fueran lanzados 20 veces, la frecuencia relativa de los seis sería 20/100 = 1/5. La probabilidad real de sacar un seis no es 1/5, sino 1/6.
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• La ley de los grandes números ahora dice que cuanto más a menudo se hace el experimento aleatorio entre los mismos Circunstancias repetidas, cuanto más se acerca la frecuencia relativa del resultado aleatorio a la Probabilidad en. En el medio, la frecuencia relativa, por supuesto, también puede diferir más de la probabilidad si, por ejemplo, en el ejemplo de la tirada de dados, aciertas 6 100 veces seguidas mientras tanto tirar los dados. Sin embargo, a largo plazo, los dos tamaños convergerán.
• No debe interpretar esta ley apostando al rojo en la ruleta solo porque las últimas 10 rondas siempre fueron negras. Incluso si el número 25 ha sido sorteado con más frecuencia en la lotería "6 de 49" hasta ahora, ¡esto no significa que este número se sorteará con menos frecuencia en el futuro! En el póquer, también, no deberías simplemente "apostar" un proyecto de color en el flop solo porque obtuviste el Flush no acertó los últimos cinco all-ins después del flop y sí, vendrá en algún momento tengo que". Los experimentos aleatorios son independientes entre sí y los diferentes resultados son siempre igualmente probables. O en resumen: lo que fue en el pasado no tiene ningún efecto en el futuro.
• Esta ley está en el matemáticas dividido en una ley débil para grandes números y una ley fuerte para grandes números.


Cálculo de probabilidad: así es como funciona

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Explicación matemática de la ley fuerte y débil.

• En la ley débil de los grandes números, tienes Y_I con i∈N dado como variables aleatorias reales que tienen la misma expectativa µ. Además, dos variables aleatorias diferentes no están correlacionadas. Ahora determina la media aritmética de n de estas variables aleatorias, por lo que obtiene Y_norte'= (Y₁+ Y₂+... + Y_norte) / n. Ahora forme el límite para n hacia el infinito, luego para todo ε> 0: lim_{n-> ∞} P (| Y_norte'-µ | norte')_n∈N converge estocásticamente a µ al aumentar el tamaño de la muestra N.
• Con la ley fuerte de los números grandes, proporcionó los mismos valores iniciales. Ahora, sin embargo, P (lim_norte->∞ Y_norte'=µ) = 1. La ley fuerte de los grandes números se formula así aún más estrechamente, incluso implica la ley débil de los grandes números (si se cumple la ley grande, también se cumple la ley pequeña. Sin embargo, no se aplica lo contrario).

Como puede ver, la ley de los grandes números es un componente fundamental de la Estadísticas e indispensable. En el física Por ejemplo, la ley de los grandes números juega un papel importante. ¿Tiene que lidiar con una gran cantidad de mediciones que deben realizarse una y otra vez en las mismas circunstancias y desviaciones? Si el resultado de la medición siempre aumenta claramente, entonces la probabilidad de que se produzca un error sistemático es alta. está presente.