Συστήματα γραμμικών εξισώσεων: διάφορες λύσεις
Μερικές φορές γραμμικά συστήματα εξισώσεων, ακόμη και αν υπάρχουν μόνο δύο εξισώσεις με δύο άγνωστα, προκαλούν πραγματικό «πρόβλημα», γιατί δεν υπάρχει μόνο μία, αλλά άπειρος αριθμός λύσεων. Γιατί όμως είναι έτσι;
Δύο εξισώσεις και πολλές λύσεις - ένα πρόβλημα
- Maybeσως αυτό σας έχει συμβεί ήδη: Θέλετε ένα γραμμικό σύστημα εξισώσεων με μόνο 2 εξισώσεις και δύο άγνωστα (συνήθως x και y), αλλά συμβαίνει κάτι "περίεργο" κατά τον υπολογισμό, επειδή οι δύο εξισώσεις είναι μετά από κάποιους μετασχηματισμούς πανομοιότυπο.
- Αυτή η περίπτωση συμβαίνει, για παράδειγμα, με το σύστημα 2x - 3y = 8 και 6y = 4x - 16. Εάν λύσετε και τις δύο εξισώσεις για x (ή y) προκειμένου να τις λύσετε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της εξίσωσης, αποδεικνύονται ότι είναι πανομοιότυπες.
- Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις υπάρχουν στην πραγματικότητα αρκετές, ακόμη και απείρως πολλές, λύσεις για το γραμμικό σύστημα εξισώσεων. Στο παράδειγμα, μπορείτε όλοι να είστε πραγματικοί για το άγνωστο x Αρίθμηση και υπολογίστε το y σύμφωνα με μία από τις δύο εξισώσεις. Άρα x = 1 και y = -2 θα ήταν λύση, αλλά και x = 0 και y = -8/3. Ανάλογα με την επιλογή του x, μπορείτε να βρείτε περαιτέρω λύσεις ανάλογα.
Παρεμπιπτόντως, αντί για πολλές λύσεις, μιλάμε επίσης για ένα σύστημα εξισώσεων που δεν είναι μοναδικά επιλύσιμο.
Γραμμικά συστήματα εξισώσεων με πολλά άγνωστα - μια μέθοδος δοκιμής
- Εάν έχετε ένα γραμμικό σύστημα εξισώσεων με n εξισώσεις με n άγνωστα, θα μάθετε για τις δυνατότητες στα μαθηματικά του ανώτερου σχολείου για να ελέγξετε αν υπάρχουν αρκετές λύσεις.
- Αυτή είναι η έννοια της γραμμικής εξάρτησης. Στο παράδειγμα που συζητήθηκε παραπάνω, οι δύο εξισώσεις ήταν γραμμικά εξαρτημένες, επειδή η δεύτερη εξίσωση θα μπορούσε να δημιουργηθεί από την πρώτη πολλαπλασιάζοντας με έναν αριθμό.
- Ακόμη και σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων που είναι πιο περίπλοκο από αυτό που αναφέρθηκε παραπάνω, δεν χρειάζεται να κάνετε πολλά περισσότερα από το να ελέγξετε αν οι μεμονωμένες εξισώσεις εξαρτώνται γραμμικά.
- Υπάρχουν πολλές επιλογές για αυτήν τη διαδικασία. Για παράδειγμα, μπορείτε να λύσετε το σύστημα σύμφωνα με τον αλγόριθμο Gauss. Στην εξαρτώμενη περίπτωση, θα λάβετε μηδενικά μόνο σε μία από τις γραμμές - μια μορφή εξέτασης που είναι ιδιαίτερα συχνή στα σχολικά μαθήματα.
- Μια τέτοια μηδενική γραμμή μπορεί να λυθεί για οποιονδήποτε συνδυασμό μεταβλητών και ως εκ τούτου δεν αποτελεί περιορισμό (θα μπορούσε επίσης να παραλειφθεί).
- Παραμένουν εξισώσεις n-1, αλλά ακόμα n άγνωστοι. Και εδώ, μια άγνωστη ή μεταβλητή μπορεί να επιλεγεί ελεύθερα, οι άλλες προκύπτουν από τις υπόλοιπες εξισώσεις. Το σύστημα εξισώσεων έχει συνεπώς ένα άπειρο σύνολο λύσεων μίας παραμέτρου. Εάν έχετε περισσότερες από μία μηδενικές γραμμές, πολλά άγνωστα μπορούν να επιλεγούν ελεύθερα.
Θα συναντήσετε γραμμικά συστήματα εξισώσεων για πρώτη φορά στο γυμνάσιο στο ...
Παρεμπιπτόντως: το γραμμικό σύστημα εξισώσεων περιέχει λιγότερα Εξισώσεις ως μεταβλητή, οι πληροφορίες δεν επαρκούν ούτε για μια σαφή λύση. Αυτό ονομάζεται υποκαθορισμένο. Τα καταργημένα συστήματα που περιέχουν περισσότερες εξισώσεις από άγνωστα είναι είτε άλυτα, διότι βασίζονται σε μια αντίφαση (π. ΣΙ. 0 = -1!), Sol επιλύσιμο εάν υπάρχουν μηδενικές γραμμές.
