Ο νόμος των μεγάλων αριθμών εξηγείται απλά

Εισαγωγή στο νόμο των μεγάλων αριθμών

Ο νόμος των μεγάλων Αρίθμηση Ο ευκολότερος τρόπος για να το καταλάβετε είναι να χρησιμοποιήσετε ένα ιδιαίτερα απλό παράδειγμα. Σε μια απλή ρίψη ζαριών με ένα ωραίο ζάρι, υπάρχουν έξι διαφορετικά αποτελέσματα (οι αριθμοί 1 έως 6), όλα τα οποία έχουν την ίδια πιθανότητα. Για παράδειγμα, P ("6 ρίχνονται") = 1/6. Αλλά τι σχέση έχει αυτό με τον νόμο των μεγάλων αριθμών;

• Ας υποθέσουμε ότι εκτελέσατε αυτό το τυχαίο πείραμα 100 φορές κάτω από τις ίδιες συνθήκες και κάνετε έναν απολογισμό Πόσο συχνά εμφανίζονται οι αριθμοί 1 έως 6, τότε έχετε καθορίσει τις απόλυτες συχνότητες με αυτόν τον τρόπο. Εάν το βάλετε σε σχέση με τον αριθμό των ζαριών, θα λάβετε τις σχετικές συχνότητες. Αν έχετε 100 ρίψεις π.χ. ΣΙ. Εάν οι έξι πεταχτούν 20 φορές, η σχετική συχνότητα των έξι θα είναι 20/100 = 1/5. Η πραγματική πιθανότητα να κυλήσει ένα εξάρι δεν είναι 1/5, αλλά 1/6.
  instagram viewer
• Ο νόμος των μεγάλων αριθμών λέει τώρα ότι όσο πιο συχνά κάνετε το τυχαίο πείραμα μεταξύ των ίδιων Επαναλαμβανόμενες περιστάσεις, όσο πιο κοντά πλησιάζει η σχετική συχνότητα του τυχαίου αποτελέσματος Πιθανότητα στο. Ενδιάμεσα, η σχετική συχνότητα μπορεί επίσης φυσικά να διαφέρει περισσότερο από την πιθανότητα εάν, για παράδειγμα, στο παράδειγμα της ρίψης ζαριών, στο μεταξύ χτυπήσετε ένα 6 100 φορές στη σειρά ρίξει τα ζάρια. Μακροπρόθεσμα, όμως, τα δύο μεγέθη θα συγκλίνουν.
• Δεν πρέπει να ερμηνεύσετε αυτήν την αρχή ποντάροντας στο κόκκινο στη ρουλέτα μόνο και μόνο επειδή οι τελευταίοι 10 γύροι ήταν πάντα μαύροι. Ακόμα κι αν ο αριθμός 25 έχει κληρωθεί πιο συχνά στην κλήρωση "6 από 49", αυτό δεν σημαίνει ότι αυτός ο αριθμός θα κληρωθεί λιγότερο συχνά στο μέλλον! Στο πόκερ, επίσης, δεν πρέπει να κάνετε "all-inn" ένα flush draw στο flop μόνο και μόνο επειδή πήρατε Ο Flush δεν χτύπησε τα τελευταία πέντε all-ins μετά το flop και ναι θα έρθει κάποια στιγμή πρέπει". Τα τυχαία πειράματα είναι ανεξάρτητα το ένα από το άλλο και τα διαφορετικά αποτελέσματα είναι πάντα εξίσου πιθανά. Or εν ολίγοις: αυτό που ήταν στο παρελθόν δεν έχει καμία επίδραση στο μέλλον.
• Αυτός ο νόμος βρίσκεται στο μαθηματικά χωρίζεται σε αδύναμο νόμο για μεγάλους αριθμούς και ισχυρό νόμο για μεγάλους αριθμούς.


Υπολογισμός πιθανότητας - έτσι λειτουργεί

Ο υπολογισμός της πιθανότητας είναι ένας από εκείνους τους τύπους μαθηματικών που ...

Μαθηματική εξήγηση του ισχυρού και αδύναμου νόμου

• Στον αδύναμο νόμο των μεγάλων αριθμών, έχετε Y_Εγώ με i∈N που δίνεται ως πραγματικές τυχαίες μεταβλητές οι οποίες έχουν όλες την ίδια προσδοκία μ. Επιπλέον, δύο διαφορετικές τυχαίες μεταβλητές δεν συσχετίζονται. Τώρα καθορίζετε τον αριθμητικό μέσο όρο n αυτών των τυχαίων μεταβλητών, οπότε παίρνετε το Υ_ν'= (Υ₁+ Υ₂+... + Υ_ν) / n Τώρα σχηματίστε το όριο για το n προς το άπειρο, στη συνέχεια για όλα τα ε> 0: lim_n-> P (| Y_ν'-μ | ν')_n∈N συγκλίνει στοχαστικά στο μ με το αυξανόμενο μέγεθος δείγματος Ν.
• Με τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών, δώσατε τις ίδιες τιμές εκκίνησης. Τώρα, όμως, το P (lim_ν->∞ Υ_ν'=µ) = 1. Ο ισχυρός νόμος των μεγάλων αριθμών διατυπώνεται έτσι ακόμη πιο στενά, υποδηλώνει ακόμη και τον αδύναμο νόμο των μεγάλων αριθμών (εάν εκπληρωθεί ο μεγάλος νόμος, τότε εκπληρώνεται και ο μικρός νόμος. Ωστόσο, το αντίστροφο δεν ισχύει).

Όπως μπορείτε να δείτε, ο νόμος των μεγάλων αριθμών είναι ένα θεμελιώδες δομικό στοιχείο του στατιστική και απαραίτητη. Στο η φυσικη Για παράδειγμα, ο νόμος των μεγάλων αριθμών παίζει σημαντικό ρόλο. Πρέπει να αντιμετωπίσετε έναν τεράστιο αριθμό μετρήσεων που πρέπει να πραγματοποιούνται ξανά και ξανά υπό τις ίδιες συνθήκες και αποκλίσεις Εάν το αποτέλεσμα της μέτρησης ανεβαίνει πάντοτε σαφώς, τότε η πιθανότητα είναι υψηλό είναι ένα συστηματικό σφάλμα είναι παρών.