Lineær uafhængighed af funktioner

Funktioner kan også være lineært uafhængige

Ud over de vektorer i to- eller tredimensionelt rum, som du kender, er der andre sæt, der opfylder betingelserne for et vektorrum. Et eksempel er alle sammenhængende Funktioner over det virkelige Tæller R. (Du behøver ikke nødvendigvis at vide, hvad betingelserne for et vektorrum er for at forstå dette yderligere.)

• I en funktionel kontekst betyder lineær uafhængighed, at funktionssættet f_jeg bygger op eller en komplet delmængde af dette. Med andre ord: Enhver funktion, uanset hvor vilkårlig den er, kan bruges som en lineær kombination af disse grundlæggende funktioner f_jeg repræsentere.
• Ligesom du kan undersøge et sæt vektorer for lineær uafhængighed, kan du gøre det samme med et sæt funktioner. Kort sagt, et sæt funktioner f_jeg derefter lineært uafhængigt, hvis du ikke kan repræsentere nogen af ​​disse funktioner som en lineær kombination af de andre funktioner.
  instagram viewer
• Matematisk gælder det for lineær uafhængighed, at ligningen ∑ a_jeg * f_jeg = 0 kan kun opfyldes, hvis alle (!) Reelle koefficienter a_jeg = 0. Dette sidste matematiske udtryk er også et testkriterium for sæt af funktioner f_jeg. Så i sidste ende, ligesom med vektorer, skal du finde en ligning med de ukendte a_jeg undersøge.

Lineær uafhængighed - eksempler

• Et eksempel, der ofte vælges for et sæt kontinuerlige funktioner over R, der er lineært uafhængige, er f₁(x) = x², f₂(x) = e^x og f₃(x) = e^-x. Selv en foreløbig overvejelse viser, at ingen af ​​disse tre funktioner kan udtrykkes med de to resterende. Groft sagt er de givne funktioner bare for forskellige. Også ligningen a₁x² + a₂e^x * a₃e^-x = 0 kan kun løses, hvis alle koefficienter a_jeg = 0.


Lineær kombination af vektorer - forklarer matematikeksperten

Du konfronteres med den lineære kombination af vektorer, hvis du er i ...

• De to funktioner f₁(x) = sin 2x, f₂Imidlertid er (x) = sinx * cos x lineært afhængige, fordi du kan konvertere funktionen af ​​den dobbelte vinkel til den anden funktion ved hjælp af en formel.
• Det (uendelige) sæt funktioner f_jeg(x) = x^jeg, hvor indekset i er tallene 0,1,2... løber igennem, danner i øvrigt et lineært uafhængigt grundlag for vektorrummet for de fuldstændig rationelle funktioner. Den lineære uafhængighed af f_jeg let kan ses. Den såkaldte Vronsky determinant.