VIDEO: Løsning af simple ekstreme værdiproblemer

Modellering af de ekstreme værdiproblemer

• Først skal du oprette en funktionel ligning f, som er afhængig af en parameter, normalt bruges x. x betegner den variabel og ukendte mængde, der skal vælges, så et maksimum eller minimum resultat for ekstremværdiproblemet opnås i sidste ende.
• x kan være B. stå for et bords længde eller vægten af ​​en mursten.
• Du har derefter z. B. en funktion af formen f (x) = 2x³-4x + 3 fundet.
• Men det kan også være, at funktionen er afhængig af to eller flere variabler i det første trin, f.eks. B. f (x, y) = 5x²-2xy + 3y-6.
• Nu skal du finde en begrænsning, der angiver en variabel som funktion af den anden variabel. Gælder f.eks. B. y = 2x + 2, så kan du indsætte denne y i funktionsligningen, og du får nu en simpel funktionel ligning, der kun afhænger af x. I dette eksempel, efter multiplikation og kombination, ville dette være: f (x) = 5x²-2x (2x + 2) +3 (2x + 2) -6 = x²+ 2x + 6.


Hvad er arctan

Arctan er tangens inverse funktion i intervallet] -pi / 2, pi / 2 [. Det er …

• Dette eksempel undersøges nærmere nedenfor.

Enkel differentiering - sådan fungerer det

• Når du har fundet funktionsligningen, der modellerer dit ekstreme værdiproblem, er alt du skal gøre at finde den særlige værdi for x, der minimerer eller maksimerer din funktion.
• For at gøre dette skal du tage det første derivat af funktionen med hensyn til x. Til dette har du muligvis brug for produktet, kvotienten eller kædereglen, afhængigt af funktionsligningens sværhedsgrad. Hvis du ikke længere kender dette fra skolen, kan du finde det i enkle afledningsregler i populære formler eller bøger.
• I vores eksempel får vi nu den afledte funktion f '(x) = 2x + 2.
• Du skal vide, at der kun kan være et ekstremt punkt, hvor betingelsen f '(x) = 0 er opfyldt.
• Så i det næste trin skal du indstille derivatet til 0. I dette eksempel ville dette være 0 = f '(x) = 2x + 2 <=> 2x = -2 <=> x = -1.
• På punktet x = -1 er der derfor en kandidat til et ekstrempunkt.
• Selvfølgelig kan der være flere kandidater til dine ekstreme værdiproblemer. Disse skal også kontrolleres individuelt i det næste trin. I dette enkle eksempel er der kun en kandidat.

Enkel differentiering lykkedes - hvad nu?

• For at finde ud af, om der er simple ekstreme punkter på de bestemte punkter, skal det andet derivat dannes.
• Der er tre muligheder: f '' (x) <0 gælder, her er der et lokalt maksimum. Eller: f '' (x)> 0 gælder, her er der et lokalt minimum. Eller: f '' (x) = 0, her er intet ekstrempunkt (det er et såkaldt sadelpunkt).
• I det enkle eksempel, der diskuteres her, skal det andet derivat undersøges ved punktet x = -1. Først og fremmest er f '' (x) = 2. Så også f '' (- 1) = 2.
• På grund af f '' ( - 1)> 0 er der et lokalt minimum på punktet x = -1.
• Hvis du har fundet andre kandidater til dine ekstreme værdiproblemer, bør du nu også kontrollere for hver kandidat, om der er et ekstremt punkt, og hvilken type det er.

Som du kan se, er det virkelig let at finde en løsning på de fleste ekstreme værdiproblemer. Den største vanskelighed ligger kun i at oprette den korrekte funktionsligning for det respektive ekstreme værdiproblem.