VIDEO: Den optimale dåse

Den optimale dåse - et ekstremt værdiproblem

Producenter ønsker at bruge så lidt materiale som muligt til dåser, og øldåser skal være praktisk. Så hvordan skal de Dimensioner skal der vælges en cylindrisk dåse med en kapacitet på 0,5 l, så der er brug for så lidt materiale som muligt? Og overholder producenterne overhovedet disse optimale dimensioner? Denne opgave lyder først useriøs, fordi et blik på dåsehylden viser, at producenterne Gør i det hele taget dåserne ensartede, dvs. den samme højde og diameter Vælg. Men skyldes det måske kun standardfyldemaskinerne? Eller fordi dåserne er lette at håndtere i den valgte form?

1. Disse spørgsmål kan kontrolleres i matematik. Opgaven er kort sagt: hvilken diameter (eller radius) og hvilken højde har du brug for til dåsecylinderen vælg, så dåsen rummer et volumen på 0,5 l og overfladen (det er materialeforbruget) så lille som muligt vilje.
2. Dette er et ekstremt værdiproblem med en hovedbetingelse (overfladen skal være minimal) med en sekundær tilstand (volumen er 0,5 = 500 cm³).
instagram viewer
3. Med problemer som dette skal du først oprette både hoved- og sekundære betingelser som ligninger. I dette tilfælde er radius r af cylindercirklen og cylinderens højde h de to ukendte (som du vil beregne).
4. Du kan slå formlerne op for volumen V og overfladen F for en cylinder i formularen. Bemærk, at overfladen af ​​en cylinder består af de to cirkler og et rektangel (cylinderkappen).


Beregn cylinderhøjde

Du kender nogle størrelser af en cylinder, såsom diameter eller ...

5. Følgende gælder: V = ¶ r² _* h = 500 cm³ som en sekundær tilstand og F = 2 ¶ r² + 2 ¶ r _* h som hovedbetingelse, der skal være minimal.
6. Hovedbetingelsen indeholder oprindeligt de to ukendte r og h. Fra den sekundære tilstand kan du nu adskille en af ​​de to ukendte (h er nyttig, fordi det er lettere at beregne) og indsætte den i hovedbetingelsen. Fremgangsmåden ligner at erstatte to ligninger med to ukendte. Kun her har du det Funktioner at gøre.
7. Du får h = 500 / ¶ r² (cm³ udelades til den videre beregning; resultatet beregnes derefter i enheden "cm") og sættes dette i overfladen F.
8. F (r) = 2 ¶ r² + 2 ¶ r _* (500 / ¶ r²) = 2 ¶ r² + 1000 / r, det vil sige, at overfladen på din dåse nu kun afhænger af radius.
9. Ifølge opgaven skal overfladen være minimal, så du leder efter en ekstrem værdi af denne funktion.
10. For at gøre dette skal du udlede F (r) i henhold til variablen r og sætte derivatet til nul.
11. Du beregner F '(r) = 4 ¶ r - 1000 / r² (du kan slå derivatet af 1 / r op i formularen, hvis du ikke ved det).
12. Følgende gælder for et ekstremum: 4 ¶ r - 1000 / r² = 0.
13. Ud fra dette beregner du r³ = 250 / ¶ og r = 4,3 cm (tredje rod på TR). Din minimale æske har en diameter på næsten 9 cm.
14. Du kan nu beregne højden h af dåsen ud fra den sekundære tilstand (jf. Punkt 8.) til h = 8,6 cm. Diameter og højde matcher derfor.

Matematik og virkelighed - stiller spørgsmålstegn ved resultatet kritisk

Men kan en øl virkelig se sådan ud, omtrent lige så høj som den er bred? Hverdagen modsiger resultatet af matematik Det er klart, at dåserne er relativt højere, så smallere og selvfølgelig mere håndterbare. Det er fortsat usikkert, om kundens ønsker er i forgrunden her. Og noget andet bør tages i betragtning: Øldåser fyldes ikke til toppen, dvs. større end 500 ml. Derudover er den ideelle cylinderform givet selvfølgelig.

• Noget blev der dog ikke taget hensyn til, når det kom til materialeforbrug: der er spild! Det oprettes, når cirklerne skæres. Det vides ikke, om det vil blive smeltet ned igen eller bortskaffes. Under alle omstændigheder er det et tab for virksomheden. Måske vil du genberegne opgaven med ekstrem værdi for den optimale dåse under hensyntagen til dette affald.
• Så behøver du ikke to cirkler til overfladen, men to firkanter ud over den rektangulære cylinderoverflade. Resultatet for denne sag er r = 4 cm og h = 10 cm, så dåsen bliver smallere og højere. Det er forbløffende!