Bestem sinusens omvendte funktion

Hvad du har brug for:

• trigonometrisk viden
• Omvendt funktion
• grafisk lommeregner
• Pen
• papir

Fra sinus til arcsine - sådan fungerer det

Funktionen med funktionsreglen y = sin (x) skal se bekendt ud for dig. Det er en periodisk funktion med en periode på 2π. Værdiområdet strækker sig fra -1 til +1 og er defineret for alle x Є R. Nu vil du sandsynligvis vide, om denne funktion er reversibel, og hvordan dens inverse ser ud.

1. Først og fremmest kan du ikke vende funktionen over hele sit domæne. Da sinusfunktionen er 2π-periodisk, er f (0) = f (2π) = 0, så funktionen er ikke injektiv og derfor heller ikke bijektiv, dvs. ikke reversibel.
2. Men hvis du begrænser funktionen til definitionområdet x Є [-π / 2, + π / 2] og værdiområdet y Є [-1, +1], så er sinusfunktionen strengt monotont øger dette interval (kortlægningsregel: sin: [-π / 2, + π / 2]-> [-1, + 1]), og du kan nu bruge funktionen på grund af dens bijektivitet vender tilbage. Sinusens omvendte funktion kaldes arcsine.
   instagram viewer
3. Du kan komme til arcsine ved at løse og omarrangere ligningen: y = sin (x) <=> arcsin (y) = arcsin (sin (x)) <=> arcsin (y) = x og derefter bytte x og y igen. Endelig får du y = arcsin (x).

Den omvendte arcsine - egenskaber

• Definitionsområdet og værdiområdet for den inverse funktion arcsine er nøjagtigt det modsatte af den begrænsede sinusfunktion ovenfra. Så kortlægningsreglen arcsin gælder: [-1, +1]-> [-π / 2, + π / 2], og som du kan se er det Funktion, ligesom den begrænsede sinusfunktion, er strengt monoton på sit definitionsområde vokser.


Hvad er arctan

Arctan er tangens inverse funktion i intervallet] -pi / 2, pi / 2 [. Det er …

• Du kan også nemt bestemme punktsymmetrien til oprindelsen. Du skal kun kontrollere kravet f (x) = -f (-x), her arcsin (-x) = -arcsin (x).
• Du får nul for arcsine -funktionen, hvis du bruger betingelsen arcsin (x) = 0 og løser for x. Grafen for arcsine -funktionen antyder, at punktet O (0 | 0) ikke kun er nul, men også bøjningspunktet. Du kan bevise dette ved at indstille det andet derivat (arcsin (x)) '' = 0 og vise, at det andet derivat har et tegnændring på dette tidspunkt.
• Eksempel: Du vil løse følgende ligning: 1/2 = sin (2x). Anvend nu arcsine -funktionen på begge sider. Derefter arcsin (1/2) = arcsin (sin (2x)) <=> arcsin (1/2) = 2x <=> x = arcsin (1/2)/2 <=> x = π/12.

Du skulle nu kunne arbejde med arcsine -funktionen. Gør dig bekendt med sammensatte Funktioner det er bedst at altid have en skitse eller overlade dette til dine grafiske evner lommeregner komplet.