Den gaussiske algoritme for lineære ligningssystemer forklaret i en nøddeskal

instagram viewer

Du støder på lineære ligningssystemer for første gang i gymnasiet. Fra da af vil du støde på systemer af lineære ligninger igen og igen, forudsat at du beslutter dig for et teknisk erhverv eller ofte bliver konfronteret med matematiske problemer. Den gaussiske algoritme bruges til den enkle og entydige løsning af ligningssystemer.

Med lineære ligningssystemer kan du miste styr på tingene!
Med lineære ligningssystemer kan du miste styr på tingene!

Hvad du har brug for:

  • Løsningsordning
  • grundlæggende matematisk viden
  • Pen
  • papir

Interessante fakta om systemer med lineære ligninger

Hvis du river begrebet "lineært ligningssystem" fra hinanden i de enkelte ordkomponenter, får du allerede en simpel idé om, hvad en LGS er.

  • En LGS består af flere lineære Ligninger, hvor forskellige oprindeligt ukendte parametre forekommer. Lineær betyder, at parametrene ikke er i nogen Potenser henholdsvis rod Hændelse. For eksempel er ligningen x1+ 2x22 = 3 kan ikke være en del af et lineært ligningssystem, da parameteren x2 forekommer i den anden effekt.
  • De forskellige ligninger kan opsættes ved modellering, eller de er ganske enkelt givet i opgaven. Et eksempel: Ved en levering af lastbiler er tre dele (x 1, x2, x3) leveret, som priserne s1 = 1 euro, s2 = 2 euro og s3 = Har 3 euro. Den samlede værdi af leveringen er 1.000 euro. Disse oplysninger kan opsummeres i en ligning 1x1+ 2x2+ 3x3 = 1.000, hvor x1, x2 og x3 svarer til de oprindeligt ukendte mængder af de tre dele.
  • På denne måde kan der oprettes yderligere ligninger. I dette eksempel ville pladsbehovet for delene og volumen på en lastbil kunne tænkes.
  • Efter at alle lineære ligninger er blevet oprettet, kan LGS løses, dvs. bestemmelsen af ​​den ukendte parameter x1, x2 og x3. Det er her den gaussiske algoritme kommer i spil, hvormed du kan løse LGS trin for trin i henhold til et klart defineret skema.
    • Simplex -metoden til lineær optimering forklares simpelthen

    Lineær optimering handler om den optimale allokering af knappe ressourcer til ...

  • Der er tre muligheder for at løse et system af lineære ligninger. Hvis du er lidt mere erfaren, vil du allerede inden løsningsprogrammet se, om en LGS har en, ingen eller et uendeligt antal løsninger.
  • LGS med de to ligninger x1+ x2 = 1 og x1+ 2x2 For eksempel har = 1 ingen løsning, fordi begge ligninger ikke kan opfyldes på samme tid. Der er præcis en løsning, hvis antallet af ukendte parametre er lig med antallet af ligninger, der ikke er nogen modsætning, og alle ligninger (hver i par) er lineært uafhængige. Rangen af ​​matrixen, der tilhører LGS, er da nøjagtigt lig med antallet af ukendte. Hvis rangen er mindre, er der uendeligt mange løsninger (se eksempel).

Eksempel på anvendelse af den gaussiske algoritme

  1. Ved at modellere et problem har du de tre ligninger 2x1+ x2-3x3 = 6, x1-2x2-x3 = 2 og -4x1-2x2+ 6x3 = -12 opsat.
  2. Skriv nu disse tre ligninger under hinanden. Når du anvender den gaussiske algoritme, eliminerer du gradvist variablerne. De ved, at elementære linjetransformationer ikke ændrer løsningsrummet.
  3. Skriv nu den første ligning uændret ned. Multiplicer den anden og tredje ligning, så når disse nye ligninger tilføjes til den første række, ikke har et x1 indeholde mere. Så du gange den anden ligning med -2 ​​(på grund af x1 i den anden ligning og 2x1 i den første ligning) og tilføj dem til den første linje. Ligeledes dividerer den tredje ligning med to og føjes den til den første ligning.
  4. I det næste trin har du to ligninger, hvor kun parametrene x2 og x3 Pop op. Skriv nu den anden ligning ned og gang den tredje ligning på en sådan måde, at når den tilføjes til den anden ligning, x2 elimineres. Hvis du havde andre ligninger, skal du fortsætte på samme måde.
  5. I den sidste ligning har du så kun variablen x3 som du nu kan bestemme. Hvis du slutter resultatet til de to andre ligninger, får du værdierne for x2 og x1.
  6. I dette eksempel er der imidlertid et særligt tilfælde. I trin 3, hvis du dividerer den tredje ligning med 2 og tilføjer den til den første ligning, får du bare 0x1+ 0x2+ 0x3 = 0. Årsagen til dette er enkel: Ligning 1 og ligning 3 er lineært afhængige, fordi den tredje ligning opnås ved at gange den første ligning med -2.
  7. Du kan krydse nul -linjen og vide, at rangen kun er 2, og LGS har et uendeligt antal løsninger, forudsat at der ikke er nogen modsætning.
  8. Så efter trin 3 og 6 har du de to ligninger 2x1+ x2-3x3 = 6 og 5x2-x3 = 2. Du har en grad af frihed. Så giv x1 og x2 afhængig af x3 og du er der.
  9. Den anden ligning indebærer x2 = 2/5 + 1 / 5x3.
  10. Hvis du sætter x2 ind i den første ligning får vi: 2x1+ 2/5 + 1 / 5x3-3x3 = 6. Opløsning til x1 resulterer i: x1 = 14/5 + 7 / 5x3.
  11. Løsningsrummet slipper således igennem L = {(14/5 + 7 / 5x3; 2/5 + 1 / 5x3; x3)} angive. Der findes et uendeligt antal løsninger. For x3 = 1, for eksempel løsningen (21/5; 3/5; 1). Som en test kan du tilslutte denne løsning til de originale ligninger, og du vil opdage, at denne løsning faktisk er en løsning af LGS.

Kør den gaussiske algoritme i yderligere eksempler for at internalisere den. Du kan selv angive de numeriske værdier.

Hvor nyttig finder du denne artikel?

click fraud protection