Fra en cylindrisk træstamme ...

Hvad er ekstreme værdiproblemer?

Uanset om du kalder den slags opgaver for ekstremværdiopgaver, maksimalværdiberegninger eller simpelthen optimeringsproblemer, bør du altid givet en størrelse - det være sig området, volumen eller flow eller lastkapacitet - så stort som muligt, dvs. maksimum vilje. Princippet for proceduren er altid det samme:

1. I de fleste tilfælde bør du lave en kort skitse af opgaven for at få overblik. Afhængigt af situationen kan du indtaste længder eller andre størrelser der.
2. Indstil nu den såkaldte. Objektiv funktion på, det er den størrelse, der skal være maksimal (eller nogle gange også minimum) i opgaven. Dette kan f.eks. Være området, lydstyrken eller vinkel være. Læs teksten omhyggeligt.
3. Denne objektive funktion indeholder normalt mere end en ukendt, generelt er der to værdier, som den afhænger af, for eksempel bredden og længden af ​​en overflade.
instagram viewer
4. For at erstatte en af ​​disse to ukendte skal du udtrække den såkaldte Formuler sekundære forhold. Her kommer så at sige det givne ind. Dette kan være en radius, en højde eller måske endda et givet område. Også her skal du se nærmere på opgaven, fordi den sekundære tilstand ofte skyldes størrelserne på tegningen, som i eksemplet herunder.


Helt rationelle funktioner - dette skal tages i betragtning ved beregning

Rationelle funktioner er emnet for skolens matematik, mest i 11. klasse. Skoleår. Det …

5. Løs nu begrænsningen for en af ​​de to ukendte. Vælg den størrelse, der er lettere at beregne.
6. Du indsætter nu denne variabel i objektivfunktionen, som derefter kun afhænger af en ukendt (du kan roligt kalde dette "x").
7. Til denne objektive funktion leder du efter en maksimal værdi eller generelt ekstreme værdier - afledningen skal derfor dannes.
8. Afled den objektive funktion i henhold til det ukendte og sæt derivatet = 0, betingelsen for en ekstrem værdi.
9. Beregn det ukendte ud fra denne ligning. Hvis du har flere løsninger, skal du stadig kontrollere, om der faktisk er et maksimum (eller et minimum) er (2. Afledte).
10. I mange opgaver skal den anden ukendte også bestemmes. Du kender ligningen for dette fra den sekundære tilstand.

"Fra en cylindrisk log" - et eksempel

Fra en cylindrisk træstamme (denne har et cirkulært tværsnit) med en diameter d = 30 cm en bjælke med et rektangulært tværsnit skal saves på en sådan måde, at den har den højest mulige bæreevne Har.

1. Først og fremmest skal du lave en tegning, hvor du også tegner diameteren på stangen og rektanglet. I øvrigt behøver du ikke en tredimensionel repræsentation her; et snit på tværs af bjælken er tilstrækkeligt.
2. Betegn nu f.eks. Bredden af ​​tværsnittet med x og højden af ​​det tegnede rektangel med y. Du kan se, at diameteren d skal være diagonalen i dette rektangel (husk det godt!).
3. For bæreevnen gælder nu, at dette er proportionalt med bredden (x) og kvadratet af højden (y²). Du kan læse om dette på Internettet eller i en teknisk bog (desværre en "klippe" i denne opgave!).
4. Denne bæreevne bør være maksimal, så det er din objektive funktion og kan være med T (x, y) = x _* y² (du kan roligt udelade en nødvendig proportionalitetsfaktor).
5. Nu har du brug for den sekundære tilstand, som indeholder den angivne størrelse (her "d"). Et kig på din tegning viser x² + y² = d² (Pythagoras). Og du får y² = d² - x². Indsæt nu dette forhold i den objektive funktion.
6. Du får: T (x) = x _* (d²-x²) = d²x-x³; den objektive funktion afhænger kun af det ukendte "x" og kan differentieres: T '(x) = d² - 3x².
7. Du leder efter den ekstreme værdi, dvs. d² - 3x² = 0 og x = d / √3 = 30 cm / √3 ≈ 17,32 cm (2 steder bag decimaltegnet er tilstrækkelige her), bredden af ​​tværsnittet. Du behøver ikke være opmærksom på den negative rod her.
8. Du får højden y fra y² = d² - x² til y = 24,5 cm. Opgaven løst!

Du skal save et rektangel 17,32 cm bredt og 24,5 cm højt ud af den cylindriske træstamme.