Systemer med lineære ligninger: flere løsninger

To ligninger og mange løsninger - et problem

• Måske er dette allerede sket for dig: Du vil have et lineært ligningssystem med kun 2 ligninger og to ukendte (normalt x og y), men der sker noget "mærkeligt" ved beregning, fordi de to ligninger er efter nogle transformationer identisk.
• Denne sag forekommer f.eks. Med systemet 2x - 3y = 8 og 6y = 4x - 16. Hvis du løser begge ligninger for x (eller y) for at løse dem ved hjælp af ligningsmetoden, viser de sig at være identiske.
• I alle sådanne tilfælde er der faktisk flere, endda uendeligt mange, løsninger til det lineære ligningssystem. I eksemplet kan du alle reelle for det ukendte x Tæller og beregne y ifølge en af ​​de to ligninger. Så x = 1 og y = -2 ville være en løsning, men også x = 0 og y = -8/3. Afhængigt af valget af x kan du finde yderligere løsninger i overensstemmelse hermed.

I stedet for flere løsninger taler man i øvrigt også om, at ligningssystemet ikke er unikt løseligt.

Lineære ligningssystemer med flere ukendte - en testmetode

• Hvis du har et lineært ligningssystem med n ligninger med n ukendte, lærer du om muligheder i matematik på gymnasiet for at kontrollere, om der er flere løsninger.


Den gaussiske algoritme for lineære ligningssystemer forklaret i en nøddeskal

Du vil støde på lineære ligningssystemer for første gang i mellemskolen på ...

• Dette er begrebet lineær afhængighed. I eksemplet diskuteret ovenfor var de to ligninger lineært afhængige, fordi den anden ligning kunne genereres fra den første ved at gange med et tal.
• Selv i et system af lineære ligninger, der er mere kompliceret end det ovenfor anførte, behøver du ikke gøre meget mere end at kontrollere, om de enkelte ligninger er lineært afhængige.
• Der er flere muligheder for denne procedure. For eksempel kan du løse systemet i henhold til den gaussiske algoritme. I det afhængige tilfælde modtager du kun nuller i en af ​​linjerne - en form for undersøgelse, der er særlig almindelig i skoletimerne.
• En sådan nul -linje kan løses for enhver kombination af variabler og repræsenterer derfor ikke en begrænsning (den kan også udelades).
• Der er stadig n-1 ligninger, men stadig n ukendte. Også her kan en ukendt eller variabel frit vælges, de andre skyldes de resterende ligninger. Systemet med ligninger har følgelig et one-parameter uendeligt løsningssæt. Hvis du har mere end en nullinje, kan flere ubekendte frit vælges.

Forresten: det lineære ligningssystem indeholder mindre Ligninger som variabel er oplysningerne heller ikke tilstrækkelige til en entydig løsning. Dette kaldes underbestemt. Tilsidesatte systemer, der indeholder flere ligninger end ukendte, er enten uløselige, fordi de er baseret på en modsigelse (f.eks. B. 0 = -1!), Eller kan løses, hvis der er nul linjer.