Forklaret effektserieudvidelse af en funktion

instagram viewer

Mange funktioner kan konverteres til en power -serie gennem en passende transformation. Men hvordan fungerer dette nøjagtigt, og hvad skal man overveje? Du vil se, at udvidelsen af ​​power -serien ikke er så vanskelig, hvis du fortsætter i henhold til et bestemt skema og selv har udledt det.

Udvikling af en funktion i en Mac Laurin -serie

Selvfølgelig kan ikke alle vilkårlige funktioner udvikles til en power -serie. En funktion skal snarere opfylde visse kriterier, så denne proces overhovedet kan bruges. Så godt som alle enkle Funktionerat du støder på i hverdagen opfylder disse kriterier, dette trin udelades simpelthen her. Du vil dog straks se, at den pågældende funktion under alle omstændigheder skal kunne differentieres så ofte som nødvendigt (nødvendig betingelse).

  1. Antag, at enhver funktion f unikt kan udvides til en bestemt effektserie. Derefter kan denne funktion repræsenteres som en effektfunktion. Følgende gælder: f (x) = a0+ a1x1+ a2x2+ a3x3+ a4x4+...
  2. Først udviklingspunktet x0 = 0 betragtes. I miljøet omkring dette udviklingspunkt skal funktionen være differentierbar så ofte som krævet.
  3. Nu kan du Derivater af funktionen. f '(x) = a1+ 2a2x1+ 3a3x2+ 4a4x3+..., f '' (x) = 2a2+ 6a3x1+ 12a4x2+..., f (x) = 6a3+ 24a4x +..., f (x) = 24a4+...
  4. På udviklingspunktet x0 = 0 derefter: f (0) = a0, f '(0) = a1, f '' (0) = 2a2, f (0) = 6a3, f (0) = 24a4...
    5. Beregn ekstrema - sådan gøres det med polynomier

    Beregn ekstremaet af polynomet og angiv det relative maksimum og minimum ...

  5. Hvis du ser nøje på koefficienterne, vil du bemærke, at de opfører sig som fabrikken (vi har (n!)n∈N = 1, 2, 6, 24, 120,... og derudover (0!) = 1).
  6. Husk dette, når du udvikler funktionen, du får f (0) = (0!) A0, f '(0) = (1!) a1, f '' (0) = (2!) a2, f (0) = (3!) a3, f (0) = (4!) a4.
  7. Hvis du nu skifter om efter koefficienterne, får du et0 = f (0) / 0!, a1 = f '(0) / 1!, a2 = f '' (0) / 2!, a3 = f (0) / 3!, a4 = f (0) / 4!, ...
  8. Du kan se koefficienterne an overholde uddannelsesloven an = f(n)(0) / n!
  9. Du kan nu overføre dine nye fund til outputfunktionen f, så f (x) = f (0) / 0! + [F '(0) / 1!] * X gælder1+ [f '' (0) / 2!] x2+ [f (0) / 3!] x3+ [f (0) / 4!] x4+... = Σn = 0 [f(n)(0) / n!] Xn. Denne uendelige serie kaldes Mac Laurin -serien.
  10. Hvad bringer disse oplysninger dig nu? For enhver funktion, der kan udvikles til en effektfunktion, skal du blot bestemme derivaterne, og du kan repræsentere denne funktion som en uendelig serie.

Eksempel: effektserieudvidelse af f (x) = sin (x)

Den bedste måde at forstå ovenstående ordning er at anvende den med det samme på et enkelt eksempel. For at gøre dette skal du overveje funktionen f (x) = sin (x). Som du ved, kan denne funktion differentieres et vilkårligt antal gange.

  1. Bestem først de fire første leads. Følgende gælder: f '(x) = cos (x), f' '(x) = -sin (x), f (x) = -cos (x), f (x) = sin (x).. . Herfra gentages alt i en cyklus på fire.
  2. Overvej nu udviklingspunktet x0 = 0, derefter f (0) = 0, f '(0) = 1, f' '(0) = 0, f (0) = -1, f (x) = 0 ...
  3. Indsæt nu derivaterne i Mac Laurin -serien. f (x) = Σn = 0 [f(n)(0) / n!] Xn = 0 + x1/1!+0-x3/3!+0+x5/5 !+...= x1/1!-x3/3!+x5/5!+...= Σn = 0 (-1)nx2n + 1/(2n+1)!
  4. Så du får en vekslende serie, hvis konvergens du f.eks. Kunne bevise med Leibniz -kriteriet. Hvert andet medlem af serien udelades, fordi sin (0) = 0. Du kan bestemme cosinus power -serien helt analogt (løsning: Σn = 0 (-1)nx2n/(2n)! ).

Eksempel: Udvidelse af f (x) = ex ind i en power -serie

  1. Udviklingen af ​​ex i en power -serie er særlig let. Vi har f (x) = f(n)(x) = ex ∀ n∈N.
  2. Hvis du fortsætter efter den samme ordning, modtager du på grund af f(n)(0) = e0 = 1 følgende række: f (x) = 1+ (1/1!) X1+ (1/2!) X2+ (1/3!) X3+...= Σn = 0 xn/n!

Fra Mac Laurin -serien til Taylor -serien

Med Mac Laurin -serien har du kun det særlige udviklingspunkt x0 = 0 betragtes. I det næste trin bør denne begrænsning ophæves, og ethvert udviklingspunkt x = x * bør overvejes.

  • I princippet gør du de samme overvejelser, som når du stammer fra Mac Laurin -serien.
  • Du får effektserien f (x) = f (x *) + (f '(x *) / 1!) (X-x *)1+ (f '' (x *) / 2!) (x-x *)2+ (f (x *) / 3! (x-x *)3+...= Σn = 0 [f(n)(x *) / n!] (x-x *)n med x * som udviklingspunkt.

For x * = 0 ændres Taylor -serien til Mac Laurin -serien. Mac Laurin -serien er et specielt tilfælde af Taylor -serien. I praksis er Taylor -serien meget mere udbredt end Mac Laurin -serien, fordi ethvert udviklingscenter er muligt. For en bedre forståelse og for afledningen giver det dog mening at først se på den enklere variant af serien.

click fraud protection