Vysvětlené rozšíření výkonové řady funkce

instagram viewer

Vhodnou transformací lze mnoho funkcí převést na výkonovou řadu. Jak to ale přesně funguje a na co je třeba myslet? Uvidíte, že rozšíření silové řady není tak obtížné, pokud budete postupovat podle určitého schématu a sami jste si to odvodili.

Vývoj funkce v sérii Mac Laurin

Samozřejmě ne každou libovolnou funkci lze rozvinout do mocninové řady. Funkce musí spíše splňovat určitá kritéria, aby bylo možné tento proces vůbec použít. Stejně dobré jako všechny jednoduché Funkceže v každodenním životě splňujete tato kritéria, tento krok zde jednoduše vynecháte. Okamžitě však uvidíte, že uvažovaná funkce musí být v každém případě odlišitelná tak často, jak je požadováno (nutná podmínka).

  1. Předpokládejme, že jakoukoli funkci f lze jedinečně rozšířit do určité výkonové řady. Pak může být tato funkce reprezentována jako mocninová funkce. Platí následující: f (x) = a0+ a1X1+ a2X2+ a3X3+ a4X4+...
  2. Nejprve bod vývoje x0 = 0 uvažováno. V prostředí kolem tohoto vývojového bodu musí být funkce diferencovatelná tak často, jak je požadováno.
  3. Teď můžeš Deriváty funkce. f '(x) = a1+ 2a2X1+ 3a3X2+ 4a4X3+..., f '' (x) = 2a2+ 6a3X1+ 12a4X2+..., f (x) = 6a3+ 24a4x +..., f (x) = 24a4+...
  4. V bodě vývoje x0 = 0 pak: f (0) = a0, f '(0) = a1, f '' (0) = 2a2, f (0) = 6a3, f (0) = 24a4...
    5. Vypočítejte extrémy - takto se to dělá s polynomy

    Vypočítejte extrémy polynomu a dejte relativní maximum a minimum ...

  5. Pokud se podíváte pozorně na koeficienty, všimnete si, že se chovají jako faktoriál (máme (n!)n∈N = 1, 2, 6, 24, 120,... a navíc (0!) = 1).
  6. Při vývoji funkce mějte toto na paměti, dostanete f (0) = (0!) A0, f '(0) = (1!) a1, f '' (0) = (2!) a2, f (0) = (3!) a3, f (0) = (4!) a4.
  7. Pokud nyní přepnete podle koeficientů, získáte a0 = f (0) / 0!, a1 = f '(0) / 1!, a2 = f '' (0) / 2!, a3 = f (0) / 3!, a4 = f (0) / 4!, ...
  8. Můžete vidět koeficienty an dodržovat školský zákon an = f(n)(0) / n!
  9. Nyní můžete svá nová zjištění přenést do výstupní funkce f, takže platí f (x) = f (0) / 0! + [F '(0) / 1!] * X1+ [f '' (0) / 2!] x2+ [f (0) / 3!] x3+ [f (0) / 4!] x4+... = Σn = 0 [F(n)(0) / n!] Xn. Tato nekonečná řada se nazývá řada Mac Laurin.
  10. Co vám tato informace nyní přináší? Pro jakoukoli funkci, kterou lze vyvinout do mocninové funkce, stačí určit deriváty a tuto funkci můžete reprezentovat jako nekonečnou řadu.

Příklad: expanze výkonové řady f (x) = sin (x)

Nejlepší způsob, jak porozumět výše uvedenému schématu, je okamžitě jej použít na jednoduchém příkladu. Chcete -li to provést, zvažte funkci f (x) = sin (x). Jak víte, tuto funkci lze rozlišit několikrát.

  1. Nejprve určete první čtyři svody. Platí následující: f '(x) = cos (x), f' '(x) = -sin (x), f (x) = -cos (x), f (x) = sin (x).. . Od této chvíle se vše opakuje v cyklu čtyř.
  2. Nyní zvažte bod vývoje x0 = 0, pak f (0) = 0, f '(0) = 1, f' '(0) = 0, f (0) = -1, f (x) = 0 ...
  3. Nyní vložte deriváty do řady Mac Laurin. f (x) = Σn = 0 [F(n)(0) / n!] Xn = 0 + x1/1!+0-x3/3!+0+x5/5!+...= x1/1!-x3/3!+x5/5!+...= Σn = 0 (-1)nX2n + 1/(2n+1)!
  4. Získáte tedy střídavou sérii, jejíž konvergenci byste mohli dokázat například pomocí Leibnizova kritéria. Každý druhý člen řady je vynechán, protože sin (0) = 0. Výkonové řady kosinu můžete určit zcela analogicky (řešení: Σn = 0 (-1)nX2n/(2n)! ).

Příklad: Rozšíření f (x) = eX do silové řady

  1. Vývoj eX do výkonové řady je obzvláště snadné. Máme f (x) = f(n)(x) = eX ∀ n∈N.
  2. Pokud budete postupovat podle stejného schématu, obdržíte kvůli f(n)(0) = e0 = 1 následující řádek: f (x) = 1+ (1/1!) X1+ (1/2!) X2+ (1/3!) X3+...= Σn = 0 Xn/n!

Od série Mac Laurin po sérii Taylor

U řady Mac Laurin máte pouze speciální vývojový bod x0 = 0 uvažováno. V dalším kroku by toto omezení mělo být zrušeno a měl by být zvážen jakýkoli vývojový bod x = x *.

  • V zásadě uvažujete stejně jako při odvozování řady Mac Laurin.
  • Získáte výkonovou řadu f (x) = f (x *) + (f '(x *) / 1!) (X-x *)1+ (f '' (x *) / 2!) (x-x *)2+ (f (x *) / 3! (x-x *)3+...= Σn = 0 [F(n)(x *) / n!] (x-x *)n s x * jako bodem vývoje.

Pro x * = 0 se Taylorova řada změní na řadu Mac Laurin. Série Mac Laurin je speciální případ série Taylor. V praxi je řada Taylor mnohem rozšířenější než řada Mac Laurin, protože je možné jakékoli vývojové centrum. Pro lepší pochopení a odvození má však smysl nejprve se podívat na jednodušší variantu série.

click fraud protection