ВИДЕО: Оптималната консерва

Оптималната консерва - проблем с изключителна стойност

Производителите искат да използват възможно най -малко материали за консерви и бидони би трябвало да са под ръка. И така, как трябва Размери цилиндрична кутия с вместимост 0,5 л трябва да бъде избрана така, че да е необходимо възможно най -малко материал? И дали производителите изобщо се придържат към тези оптимални размери? Тази задача в началото звучи безсмислено, защото един поглед към рафта на консервите показва, че производителите Като цяло направете кутиите еднакви, т.е.същата височина и диаметър Изберете. Но може би това се дължи само на стандартните машини за пълнене? Или защото консервите са лесни за работа в избраната форма?

1. Тези въпроси могат да бъдат проверени в математиката. Накратко, задачата е: какъв диаметър (или радиус) и каква височина имате нужда от цилиндъра на консервата изберете така, че кутията да държи обем от 0,5 л, а повърхността (това е разхода на материал) възможно най -малка ще.
2. Това е проблем с изключителна стойност с основно условие (повърхността трябва да е минимална) с вторично състояние (обемът е 0,5 = 500 cm³).
   instagram viewer
3. Когато се занимавате с такива проблеми, първо трябва да настроите както основните, така и вторичните условия като уравнения. В този случай радиусът r на кръга на цилиндъра и височината h на цилиндъра са двете неизвестни (които искате да изчислите).
4. Можете да потърсите формулите за обема V и повърхността F на цилиндър във формуляра. Забележете, че повърхността на цилиндър се състои от двата кръга и правоъгълник (цилиндрова обвивка).


Изчислете височината на цилиндъра

Знаете някои размери на цилиндър като диаметър или ...

5. Важи следното: V = ¶ r² _* h = 500 cm³ като вторично условие и F = 2 ¶ r² + 2 ¶ r _* h като основно условие, което трябва да бъде минимално.
6. Основното условие първоначално съдържа двете неизвестни r и h. От вторичното условие вече можете да отделите едно от двете неизвестни (h е полезно, защото е по -лесно да се изчисли) и да го вмъкнете в основното условие. Процедурата е подобна на заместването на две уравнения с две неизвестни. Само тук го имате Функции да направя.
7. Получавате h = 500 / ¶ r² (cm³ са пропуснати за по -нататъшно изчисление; след това резултатът се изчислява в единицата "cm") и се поставя в повърхността F.
8. F (r) = 2 ¶ r² + 2 ¶ r _* (500 / ¶ r²) = 2 ¶ r² + 1000 / r, това означава, че повърхността на вашата кутия сега зависи само от радиуса.
9. Според задачата повърхността трябва да е минимална, така че търсите изключителна стойност на тази функция.
10. За да направите това, изведете F (r) според променливата r и задайте производната на нула.
11. Изчислявате F '(r) = 4 ¶ r - 1000 / r² (можете да потърсите извода на 1 / r във формуляра, ако не знаете).
12. За екстремума се отнася следното: 4 ¶ r - 1000 / r² = 0.
13. От това изчислявате r³ = 250 / ¶ и r = 4,3 cm (трети корен на TR). Вашата минимална кутия е с диаметър почти 9 см.
14. Вече можете да изчислите височината h на кутията от вторичното условие (вж. Точка 8.) до h = 8.6 cm. Следователно диаметърът и височината съвпадат.

Математика и реалност - критично поставяйте под въпрос резултата

Но може ли една бира наистина да изглежда така, приблизително толкова висока, колкото широка? Ежедневието противоречи на резултата от математика Ясно е, че консервите са относително по -високи, толкова по -тесни и разбира се по -управляеми. Остава несигурно дали желанията на клиента са на преден план тук. И още нещо трябва да се има предвид: бирените кутии не се пълнят до горе, т.е. по -големи от 500 мл. Освен това, разбира се, е дадена идеалната форма на цилиндъра.

• Нещо обаче не беше взето предвид, когато става въпрос за консумация на материали: има отпадъци! Създава се, когато кръговете се изрязват. Не е известно дали ще се стопи отново или ще се изхвърли. Във всеки случай това е загуба за компанията. Може би ще преизчислите задачата с изключителна стойност на оптималната консерва, като вземете предвид тези отпадъци.
• Тогава не се нуждаете от два кръга за повърхността, а два квадрата в допълнение към правоъгълната повърхност на цилиндъра. Резултатът за този случай е r = 4 cm и h = 10 cm, така че консервата става все по -тясна и по -висока. Това е изумително!