فيديو: حل مشاكل القيمة المتطرفة البسيطة

نمذجة مشاكل القيمة القصوى

• عليك أولاً إعداد معادلة وظيفية f ، والتي تعتمد على معلمة ، وعادةً ما يتم استخدام x. تشير x إلى الكمية المتغيرة وغير المعروفة التي يجب اختيارها بحيث يتم تحقيق أقصى أو أدنى نتيجة لمشكلة القيمة القصوى في النهاية.
• يمكن أن تكون x ب. الوقوف على طول الطاولة أو وزن الطوب.
• ثم لديك z. ب. دالة بالصيغة f (x) = 2x³تم العثور على -4x + 3.
• ولكن يمكن أيضًا أن تعتمد الوظيفة على متغيرين أو أكثر في الخطوة الأولى ، على سبيل المثال ب. و (س ، ص) = 5 س²-2xy + 3y-6.
• الآن عليك أن تجد قيدًا يحدد متغيرًا واحدًا كدالة للمتغير الآخر. ينطبق على سبيل المثال ب. y = 2x + 2 ، إذن يمكنك إدخال y في المعادلة الوظيفية وستحصل الآن على معادلة وظيفية بسيطة تعتمد فقط على x. في هذا المثال ، بعد الضرب والجمع ، سيكون هذا: f (x) = 5x²-2x (2x + 2) +3 (2x + 2) -6 = x²+ 2 س + 6.


ما هو أركتان

arctan هي دالة عكسية للماس في الفترة] -pi / 2، pi / 2 [. هذا …

• يتم فحص هذا المثال أدناه.

تمايز بسيط - هكذا يعمل

• بمجرد العثور على معادلة الدالة التي تمثل مشكلة القيمة القصوى الخاصة بك ، كل ما عليك فعله هو إيجاد القيمة الخاصة لـ x التي تقلل أو تزيد من وظيفتك.
instagram viewer
• للقيام بذلك ، عليك أن تأخذ المشتق الأول للدالة بالنسبة إلى x. لهذا قد تحتاج إلى المنتج أو حاصل القسمة أو قاعدة السلسلة ، اعتمادًا على صعوبة معادلة الوظيفة. إذا لم تعد معتادًا على هذه الأشياء من المدرسة ، فيمكنك العثور عليها في قواعد اشتقاق بسيطة في الصيغ أو الكتب الشائعة.
• في مثالنا ، نحصل الآن على الدالة المشتقة f '(x) = 2x + 2.
• عليك أن تعرف أنه لا يمكن أن يكون هناك سوى نقطة قصوى يتم فيها الوفاء بالشرط f '(x) = 0.
• لذا في الخطوة التالية ، عليك أن تساوي المشتق بـ 0. في هذا المثال سيكون هذا 0 = f '(x) = 2x + 2 <=> 2x = -2 <=> x = -1.
• عند النقطة س = -1 هناك مرشح لنقطة متطرفة.
• بالطبع ، يمكن أن يكون هناك العديد من المرشحين لمشكلات القيمة القصوى. يجب أيضًا التحقق من ذلك بشكل فردي في الخطوة التالية. في هذا المثال البسيط يوجد مرشح واحد فقط.

التمايز البسيط ناجح - ماذا الآن؟

• من أجل معرفة ما إذا كانت هناك نقاط قصوى بسيطة عند النقاط المحددة ، يجب تكوين المشتق الثاني.
• هناك ثلاثة احتمالات: f '' (x) <0 ينطبق ، وهنا يوجد حد أقصى محلي. أو: ينطبق f '(x)> 0 ، هنا يوجد حد أدنى محلي. أو: f '' (x) = 0 ، لا توجد نقطة متطرفة هنا (وهي تسمى نقطة السرج).
• في المثال البسيط الذي تمت مناقشته هنا ، يجب فحص المشتق الثاني عند النقطة x = -1. بادئ ذي بدء ، f '' (x) = 2. لذا أيضًا f '' (- 1) = 2.
• بسبب f '(- 1)> 0 يوجد حد أدنى محلي عند النقطة x = -1.
• إذا وجدت مرشحين آخرين لمشكلات القيمة المتطرفة الخاصة بك ، فيجب عليك الآن أيضًا التحقق من وجود نقطة متطرفة لكل مرشح وما نوعها.

كما ترى ، من السهل حقًا إيجاد حل لمعظم مشكلات القيمة المتطرفة. تكمن الصعوبة الأكبر فقط في إعداد المعادلة الوظيفية الصحيحة لمشكلة القيمة القصوى ذات الصلة.