فيديو: العلبة المثلى
العلبة المثلى - مشكلة ذات قيمة قصوى
يرغب المصنعون في استخدام أقل قدر ممكن من المواد للعلب ، ويجب أن تكون علب البيرة في متناول اليد. فكيف عليهم أن يفعلوا ذلك أبعاد يجب اختيار علبة أسطوانية بسعة 0.5 لتر بحيث تكون هناك حاجة إلى أقل قدر ممكن من المواد؟ وهل يلتزم المصنعون بهذه الأبعاد المثلى على الإطلاق؟ تبدو هذه المهمة غير منطقية في البداية ، لأن نظرة سريعة على رف العلبة تظهر أن الشركات المصنعة على العموم ، اجعل العلب موحدة ، أي نفس الارتفاع والقطر يختار. ولكن هل هذا ربما يرجع فقط إلى آلات التعبئة القياسية؟ أو لأن العلب يسهل التعامل معها بالشكل المختار؟
- يمكن التحقق من هذه الأسئلة في الرياضيات. باختصار ، المهمة هي: ما القطر (أو نصف القطر) وما الارتفاع الذي تحتاجه لأسطوانة العلبة اختر بحيث تستوعب العلبة حجم 0.5 لتر وأن يكون السطح (أي استهلاك المواد) صغيرًا قدر الإمكان إرادة.
- هذه مشكلة ذات قيمة قصوى مع حالة رئيسية (يجب أن يكون السطح في حده الأدنى) مع حالة ثانوية (الحجم 0.5 = 500 سم مكعب).
- في مثل هذه المشكلات ، يجب عليك أولاً إعداد الشرطين الأساسي والثانوي كمعادلات. في هذه الحالة ، نصف القطر r لدائرة الأسطوانة وارتفاع h للأسطوانة هما المجهولان (اللذان تريد حسابهما).
- يمكنك البحث عن معادلات الحجم V والسطح F للأسطوانة في كتيب الوصفات. لاحظ أن سطح الأسطوانة يتكون من دائرتين ومستطيل (غلاف الأسطوانة).
- ينطبق ما يلي: V = ¶ r² * ع = 500 سم كشرط ثانوي و F = 2 ¶ r² + 2 ¶ r * ح كشرط رئيسي يجب أن يكون الحد الأدنى.
- يحتوي الشرط الرئيسي في البداية على المجهولين r و h. من الشرط الثانوي ، يمكنك الآن فصل أحد المجهولين (h مفيد لأنه من السهل حسابه) وإدخاله في الشرط الرئيسي. الإجراء مشابه لاستبدال معادلتين بمجهولين. هنا فقط لديك المهام لكى يفعل.
- تحصل على h = 500 / ¶ r² (يتم ترك cm³ لمزيد من الحساب ؛ ثم يتم حساب النتيجة بوحدة "سم") ووضعها في السطح F.
- F (r) = 2 ¶ r² + 2 ¶ r * (500 / ¶ r²) = 2 r² + 1000 / r ، وهذا يعني أن سطح العلبة الآن يعتمد فقط على نصف القطر.
- وفقًا للمهمة ، يجب أن يكون السطح ضئيلًا ، لذا فأنت تبحث عن قيمة قصوى لهذه الوظيفة.
- للقيام بذلك ، قم باشتقاق F (r) وفقًا للمتغير r وقم بتعيين المشتق على صفر.
- يمكنك حساب F '(r) = 4 ¶ r - 1000 / r² (يمكنك البحث عن اشتقاق 1 / r في كتيب الوصفات إذا كنت لا تعرف).
- ينطبق ما يلي على أقصى حد: 4 ¶ r - 1000 / r² = 0.
- من هذا يمكنك حساب r³ = 250 / ¶ و r = 4.3 سم (الجذر الثالث على TR). يبلغ قطر الصندوق الأدنى حوالي 9 سم.
- يمكنك الآن حساب ارتفاع العلبة h من الحالة الثانوية (cf. النقطة 8.) إلى ح = 8.6 سم. لذلك يتطابق القطر والارتفاع.
تعرف بعض أحجام الاسطوانة مثل القطر أو ...
الرياضيات والواقع - تشكك في النتيجة بشكل نقدي
لكن هل يمكن أن تبدو الجعة حقًا هكذا ، بارتفاع عرضها؟ الحياة اليومية تتعارض مع نتيجة الرياضيات من الواضح أن العلب أعلى نسبيًا ، لذا فهي أضيق وبالطبع أكثر قابلية للإدارة. يبقى من غير المؤكد ما إذا كانت رغبات العميل في المقدمة هنا. وشيء آخر يجب أن يؤخذ في الاعتبار: لا تملأ علب البيرة حتى القمة ، أي أكبر من 500 مل. بالإضافة إلى ذلك ، يتم إعطاء شكل الأسطوانة المثالي بالطبع.
- ومع ذلك ، هناك شيء لم يؤخذ في الاعتبار عندما يتعلق الأمر باستهلاك المواد: هناك نفايات! يتم إنشاؤه عند قطع الدوائر. من غير المعروف ما إذا كان سيتم صهره مرة أخرى أو التخلص منه. على أي حال ، إنها خسارة للشركة. ربما ستقوم بإعادة حساب مهمة القيمة القصوى لأفضل ما يمكن مع أخذ هذه الهدر في الاعتبار.
- ثم لا تحتاج إلى دائرتين للسطح ، بل تحتاج إلى مربعين بالإضافة إلى سطح الأسطوانة المستطيل. النتيجة في هذه الحالة هي r = 4 cm و h = 10 cm ، وبالتالي تصبح العلبة أضيق وأطول. هذا مذهل!
