دالة أسية: الاشتقاق باستخدام حاصل الفرق

ملاحظة أولية: عادةً ما يكون اشتقاق الدالة الأسية هو f (x) = e^x عن طريق الدالة العكسية ، اللوغاريتم الطبيعي. هنا ، مع ذلك ، يجب أن يتم ذلك "بالكامل سيرًا على الأقدام" فوق القيمة الحدية لحاصل الفرق.

حاصل الفرق له المشتق كقيمة نهائية

1. يمكن تمثيل حاصل الفرق لأي دالة f (x) بالصيغة [f (x + h) - f (x)] / h. إذا اقترب المتغير الإضافي "h" من الصفر ، يتم الحصول على مشتق f '(x) للدالة من حاصل الفرق كقيمة حدية.
2. للدالة الأسية f (x) = e^x ينتج عن هذا حاصل الفرق التالي: [e^x+ ح - هـ^x] / h ، والتي يمكنك تحويلها أيضًا إلى [e^x_*ه^ح - هـ^x] / ح = البريد^x _* [ه^ح - 1] / ح.
3. يمكن الحصول على مشتق f '(x) للدالة الأسية بأخذ حد هذا التعبير لـ "h" باتجاه الصفر. كما هو موضح أدناه ، [e^ح - 1] / h تقترب من القيمة "1" ، بحيث تكون f '(x) = e^x إرادة. لذلك فإن اشتقاق الدالة الأسية يتفق مع الوظيفة الأصلية.

دالة أسية - تم فحصها بمزيد من التفصيل

عند المعبر الحدودي لحساب المشتق ، فإن حقيقة أن التعبير [e^ح - 1] / h له القيمة الحدية "1" إذا كان المتغير المساعد "h" يميل نحو الصفر. لكن لماذا هو هكذا؟

• أسهل طريقة لمعرفة سلوك [e^ح - 1] / h لتوفير الوضوح ، من الطبيعي استخدام آلة حاسبة لحساب هذا التعبير للقيم الأصغر لـ "h" (على سبيل المثال h = 1/100 ، h = 1/1000 وما إلى ذلك). سرعان ما يتضح أنه يقترب بالفعل من الرقم "1". ومع ذلك ، هذا ليس دليلا رياضيا.
• الاحتمال الآخر هو تقدير الدالة الأسية للحجج الصغيرة. وهي ، ه^ح = 1 + ح + ح² / 2... يمكن بكل ثقة قطع هذا التطور المتسلسل بعد فصلين أو ثلاثة فصول ، لأن "h" يجب أن تكون صغيرة. إذا وضع أحد هذا التقدير في التعبير [e^ح - 1] / h ، يحصل المرء على [1 + h + h² / 2 - 1] / h = [h + h² / 2] / h = [1 + h / 2] إذا اختصر أحدهما بالمقام. كقيمة نهائية ، هذا التعبير هو في الواقع "1" لـ h باتجاه الصفر.