شرح توسيع سلسلة القدرة لدالة

تطوير وظيفة في سلسلة Mac Laurin

بالطبع ، لا يمكن تطوير كل وظيفة عشوائية إلى سلسلة طاقة. بدلاً من ذلك ، يجب أن تفي الوظيفة بمعايير معينة حتى يمكن استخدام هذه العملية على الإطلاق. جيدة مثل كل الأشياء البسيطة المهامالتي تواجهها في الحياة اليومية تفي بهذه المعايير ، تم حذف هذه الخطوة هنا ببساطة. ومع ذلك ، سترى على الفور أن الوظيفة قيد الدراسة يجب أن تكون قابلة للتفاضل بأي حال من الأحوال بقدر ما هو مطلوب (شرط ضروري).

1. افترض أن أي دالة f يمكن توسيعها بشكل فريد إلى سلسلة قوى معينة. ثم يمكن تمثيل هذه الوظيفة كدالة طاقة. ينطبق ما يلي: f (x) = a₀+ أ₁x¹+ أ₂x²+ أ₃x³+ أ₄x⁴+...
2. أولا نقطة التنمية س₀ = 0 يعتبر. في البيئة المحيطة بنقطة التطوير هذه ، يجب أن تكون الوظيفة قابلة للتفاضل كلما تطلب الأمر ذلك.
3. الآن انت تستطيع المشتقات من الوظيفة. و '(س) = أ₁+ 2 أ₂x¹+ 3 أ₃x²+ 4 أ₄x³+... ، و '' (س) = 2 أ₂+ 6 أ₃x¹+ 12 أ₄x²+... ، و (س) = 6 أ₃+ 24 أ₄س +... ، و (س) = 24 أ₄+...
instagram viewer
4. في نقطة التطوير x₀ = 0 ثم: f (0) = a₀، و '(0) = أ₁، و '' (0) = 2 أ₂، و (0) = 6 أ₃، و (0) = 24 أ₄...


حساب القيم القصوى - هذه هي الطريقة التي يتم بها مع كثيرات الحدود

احسب القيم القصوى لكثير الحدود وأعطِ الحد الأقصى والحد الأدنى النسبي ...

5. إذا نظرت بعناية إلى المعاملات ، ستلاحظ أنها تتصرف مثل العامل (لدينا (n!)_n∈N = 1, 2, 6, 24, 120,... بالإضافة إلى (0!) = 1).
6. ضع ذلك في الاعتبار عند تطوير الوظيفة ، ستحصل على f (0) = (0!) A₀، و '(0) = (1!) أ₁، و '' (0) = (2!) أ₂، و (0) = (3!) أ₃، و (0) = (4!) أ₄.
7. إذا قمت بالتغيير الآن وفقًا للمعاملات ، فستحصل على₀ = f (0) / 0! ، أ₁ = f '(0) / 1! ، أ₂ = f '' (0) / 2! ، أ₃ = f (0) / 3! ، أ₄ = f (0) / 4 !، ...
8. يمكنك أن ترى المعاملات أ_ن يتوافق مع قانون التعليم أ_ن = و^(ن)(0) / ن!
9. يمكنك الآن نقل النتائج الجديدة الخاصة بك إلى وظيفة الإخراج f ، لذلك يتم تطبيق f (x) = f (0) / 0! + [F '(0) / 1!] * X¹+ [f '(0) / 2!] x²+ [f (0) / 3!] x³+ [f (0) / 4!] x⁴+... = Σ_{ن = 0} [F^(ن)(0) / ن!] X^ن. تسمى هذه السلسلة اللانهائية سلسلة Mac Laurin.
10. ماذا تجلب لك هذه المعلومات الآن؟ بالنسبة لأي دالة يمكن تطويرها إلى دالة طاقة ، كل ما عليك فعله هو تحديد المشتقات ويمكنك تمثيل هذه الوظيفة كسلسلة لا نهائية.

مثال: توسيع سلسلة الطاقة لـ f (x) = sin (x)

أفضل طريقة لفهم المخطط أعلاه هو تطبيقه على الفور على مثال بسيط. للقيام بذلك ، ضع في اعتبارك الوظيفة f (x) = sin (x). كما تعلم ، يمكن تمييز هذه الوظيفة بأي عدد من المرات.

1. أولاً ، حدد أول أربعة خيوط. ينطبق ما يلي: f '(x) = cos (x)، f' '(x) = -sin (x)، f (x) = -cos (x)، f (x) = sin (x).. . من هنا فصاعدًا يتكرر كل شيء في دورة من أربعة.
2. الآن ضع في اعتبارك نقطة التطوير س₀ = 0 ، ثم f (0) = 0 ، f '(0) = 1 ، f' (0) = 0 ، f (0) = -1 ، f (x) = 0 ...
3. الآن أدخل المشتقات في سلسلة Mac Laurin. و (س) =_{ن = 0} [F^(ن)(0) / ن!] X^ن = 0 + س¹/1!+0-x³/3!+0+x⁵/5!+...= x¹/1!-x³/3!+x⁵/5!+...= Σ_{ن = 0} (-1)^نx^{2n + 1}/(2n+1)!
4. لذلك تحصل على سلسلة متناوبة ، على سبيل المثال ، يمكنك إثبات التقارب مع معيار Leibniz. يتم حذف كل عضو ثان من المتسلسلة لأن الخطيئة (0) = 0. يمكنك تحديد سلسلة القوة لجيب التمام بشكل متماثل تمامًا (الحل: Σ_{ن = 0} (-1)^نx^{2 ن}/(2n)! ).

مثال: توسيع f (x) = e^x في سلسلة الطاقة

1. تطوير البريد^x في سلسلة الطاقة أمر سهل للغاية. لدينا f (x) = f^(ن)(س) = هـ^x ∀ لا.
2. إذا قمت بالمتابعة وفقًا لنفس المخطط ، فستتلقى بسبب f^(ن)(0) = هـ⁰ = 1 الصف التالي: f (x) = 1+ (1/1!) X¹+ (1/2!) X²+ (1/3!) X³+...= Σ_{ن = 0} x^ن/n!

من سلسلة Mac Laurin إلى سلسلة Taylor

مع سلسلة Mac Laurin ، لديك فقط نقطة التطوير الخاصة x₀ = 0 يعتبر. في الخطوة التالية ، يجب رفع هذا القيد وينبغي النظر في أي نقطة تطوير x = x *.

• من حيث المبدأ ، أنت تضع نفس الاعتبارات عند اشتقاق سلسلة Mac Laurin.
• تحصل على سلسلة الطاقة f (x) = f (x *) + (f '(x *) / 1!) (X-x *)¹+ (f '(x *) / 2!) (x-x *)²+ (f (x *) / 3! (x-x *)³+...= Σ_{ن = 0} [F^(ن)(x *) / n!] (x-x *)^ن مع x * كنقطة تطوير.

بالنسبة إلى x * = 0 ، تتغير سلسلة Taylor إلى سلسلة Mac Laurin. سلسلة Mac Laurin هي حالة خاصة من سلسلة Taylor. من الناحية العملية ، فإن سلسلة Taylor أكثر انتشارًا من سلسلة Mac Laurin لأن أي مركز تطوير ممكن. من أجل فهم أفضل والاشتقاق ، من المنطقي أن ننظر أولاً إلى البديل الأبسط للسلسلة.