Att lösa felaktiga integraler förklaras enkelt
Differential- och integralkalkylen är en del av matematiklektionen på den övre nivån på gymnasieskolan. Som student kommer du förr eller senare att stöta på så kallade felaktiga integraler som skiljer sig från Skillnaden mellan "vanliga" integraler, men inte mycket svårare att lösa med rätt verktyg är.
Vad är felaktiga integraler?
Felaktiga integraler är integraler som vid första anblicken inte behöver skilja sig från vanliga integraler. Det bästa sättet att visualisera felaktiga integraler är att göra en skiss. Om du integrerar någon funktion motsvarar integralen området under kurvan. Men vad händer om funktionen tenderar att nå oändlighet vid en integrationsgräns?
- Samma svårighet uppstår när den aktuella funktionen har en horisontell eller vertikal asymptot.
- Först märker du kanske inte problemet, men börja göra integralen som används för att lösa, då kommer du att märka det senast när gränserna är inställda på att du inte är det gå framåt.
- Tänk till exempel på Eulers funktion f (x) = ex och försök att integrera dessa från minus oändlighet till noll. Om du gör detta och sätter in gränserna får du termen "e 0-e-∞ ", men vad betyder detta uttryck för dig?
Lösa felaktiga integraler
- Du kan lösa felaktiga integraler mycket enkelt om du ersätter den "problematiska" integrationsgränsen med en variabel som Lös integral och utför sedan en gränsvärdesanalys där du kör variabeln mot det ursprungliga "problemvärdet" tillåta.
- I exemplet ovan löser du integralen ex dx med integrationsgränserna u och 0. Antiderivatet av f (x) = ex är F (x) = ex, eftersom vi har F '(x) = f (x).
- Om du nu sätter in integrationsgränserna får du termen e0-eu = 1-eu.
- Forma nu gränsvärdet för u -> -∞. Du blir limu 1-eu = 1.
Även smarta matematiska människor kan bli förvirrade: integrerade tecken och ...
Ett annat exempel på felaktiga integraler
- Funktionen g (x) = 1 / x2 bör integreras med intervallet 0 till 1. Du vet att funktionen g har en pol vid punkten x = 0.
- Först bestämmer du antiderivatet för funktionen g med G (x) = -1 / x.
- För den nedre integrationsgränsen, ersätt först v med 0, vilket ger dig för området A = -1 - ( - 1 / v).
- Tänk nu på gränsvärdet (limv-> 0) för v mot 0. För v mot 0 tenderar 1 / v mot + ∞ och eftersom det finns två minustecken framför uttrycket, tenderar området A följaktligen mot oändlighet.
Du ser, att lösa felaktiga integraler är inte så svårt alls. Du behöver bara veta var du ska börja.
