Объяснение разложения функции в степенной ряд

instagram viewer

Многие функции можно преобразовать в степенной ряд с помощью подходящего преобразования. Но как именно это работает и что нужно учитывать? Вы увидите, что расширение степенного ряда не так уж и сложно, если действовать по определенной схеме и вывести ее самостоятельно.

Разработка функции в серии Mac Laurin

Конечно, не каждую произвольную функцию можно преобразовать в степенной ряд. Скорее, функция должна соответствовать определенным критериям, чтобы этот процесс вообще можно было использовать. Так же хорошо, как и все простые Функциикоторые вы встречаете в повседневной жизни, соответствуют этим критериям, этот шаг здесь просто опущен. Однако вы сразу увидите, что рассматриваемая функция в любом случае должна быть дифференцируемой сколь угодно часто (необходимое условие).

  1. Предположим, что любую функцию f можно однозначно разложить в некоторый степенной ряд. Тогда эту функцию можно представить в виде степенной функции. Применяется следующее: f (x) = a0+ а1Икс1+ а2Икс2+ а3Икс3+ а4Икс4+...
  2. Сначала точка развития x 0 = 0 считается. В среде вокруг этой точки разработки функция должна быть дифференцируемой так часто, как это необходимо.
  3. Теперь вы можете Производные функции. f '(x) = а1+ 2а2Икс1+ 3а3Икс2+ 4а4Икс3+..., f '' (x) = 2a2+ 6а3Икс1+ 12а4Икс2+..., f (x) = 6a3+ 24а4х +..., f (x) = 24a4+...
  4. В точке развития x0 = 0, тогда: f (0) = a0, f '(0) = a1, f '' (0) = 2a2, f (0) = 6a3, f (0) = 24a4...
    5. Вычислить экстремумы - так это делается с полиномами

    Вычислите экстремумы многочлена и дайте относительный максимум и минимум ...

  5. Если вы внимательно посмотрите на коэффициенты, вы заметите, что они ведут себя как факториал (у нас есть (n!)n∈N = 1, 2, 6, 24, 120,... и вдобавок (0!) = 1).
  6. Имейте это в виду при разработке функции, вы получите f (0) = (0!) A0, f '(0) = (1!) a1, f '' (0) = (2!) a2, f (0) = (3!) a3, f (0) = (4!) a4.
  7. Если вы теперь переключитесь в соответствии с коэффициентами, вы получите0 = f (0) / 0!, а1 = f '(0) / 1!, а2 = f '' (0) / 2!, а3 = f (0) / 3!, а4 = f (0) / 4!, ...
  8. Вы можете увидеть коэффициенты aп соблюдать Закон об образованиип = f(п)(0) / п!
  9. Теперь вы можете перенести ваши новые результаты в функцию вывода f, поэтому f (x) = f (0) / 0! + [F '(0) / 1!] * X применяется1+ [f '' (0) / 2!] x2+ [f (0) / 3!] x3+ [f (0) / 4!] x4+... = Σп = 0 [f(п)(0) / п!] Xп. Эта бесконечная серия называется серией Мак-Лорина.
  10. Что эта информация приносит вам сейчас? Для любой функции, которая может быть преобразована в степенную функцию, все, что вам нужно сделать, это определить производные, и вы можете представить эту функцию в виде бесконечного ряда.

Пример: разложение f (x) = sin (x) в степенной ряд

Лучший способ понять приведенную выше схему - сразу применить ее к простому примеру. Для этого рассмотрим функцию f (x) = sin (x). Как известно, эту функцию можно дифференцировать сколько угодно раз.

  1. Сначала определите первые четыре отведения. Применяется следующее: f '(x) = cos (x), f' '(x) = -sin (x), f (x) = -cos (x), f (x) = sin (x).. . С этого момента все повторяется в цикле из четырех человек.
  2. Теперь рассмотрим точку развития x0 = 0, тогда f (0) = 0, f '(0) = 1, f' '(0) = 0, f (0) = -1, f (x) = 0 ...
  3. Теперь вставьте производные в серию Mac Laurin. f (x) = Σп = 0 [f(п)(0) / п!] Xп = 0 + х1/1!+0-x3/3!+0+x5/5!+...= х1/1!-x3/3!+x5/5!+...= Σп = 0 (-1)пИкс2n + 1/(2n+1)!
  4. Таким образом, вы получаете чередующийся ряд, сходимость которого вы можете доказать, например, с помощью критерия Лейбница. Каждый второй член ряда опускается, потому что sin (0) = 0. Совершенно аналогично можно определить степенной ряд косинуса (решение: Σп = 0 (-1)пИкс2n/(2n)! ).

Пример: разложение f (x) = eИкс в степенной ряд

  1. Развитие электроннойИкс в степенной ряд особенно легко. Имеем f (x) = f(п)(х) = еИкс ∀ n∈N.
  2. Если действовать по той же схеме, то из-за f(п)(0) = е0 = 1 следующая строка: f (x) = 1+ (1/1!) X1+ (1/2!) Х2+ (1/3!) Х3+...= Σп = 0 Иксп/n!

От серии Mac Laurin до серии Taylor

С серией Mac Laurin у вас есть только особая точка развития x0 = 0 считается. На следующем этапе это ограничение должно быть снято и должна быть принята во внимание любая точка развития x = x *.

  • В принципе, вы делаете те же соображения, что и при создании серии Mac Laurin.
  • Вы получаете степенной ряд f (x) = f (x *) + (f '(x *) / 1!) (X-x *)1+ (е '' (х *) / 2!) (х-х *)2+ (е (х *) / 3! (х-х *)3+...= Σп = 0 [f(п)(х *) / п!] (х-х *)п с x * в качестве точки развития.

При x * = 0 ряд Тейлора превращается в ряд Мак-Лорина. Серия Mac Laurin - частный случай серии Тейлора. На практике серия Тейлора гораздо более распространена, чем серия Mac Laurin, потому что возможен любой центр разработки. Однако для лучшего понимания и вывода имеет смысл сначала взглянуть на более простой вариант серии.

click fraud protection