A lineáris egyenletrendszerek Gauss -algoritmusa dióhéjban

instagram viewer

A középiskolában először találkozik lineáris egyenletrendszerekkel. Ettől kezdve újra és újra találkozni fog a lineáris egyenlet rendszereivel, feltéve, hogy műszaki szakma mellett dönt, vagy gyakran szembesül matematikai problémákkal. A Gauss -algoritmust az egyenletrendszerek egyszerű és egyértelmű megoldására használják.

A lineáris egyenletrendszerekkel elveszítheti a nyomát!
A lineáris egyenletrendszerekkel elveszítheti a nyomát!

Amire szükséged van:

  • Megoldási séma
  • matematikai alapismeretek
  • Toll
  • papír

Érdekes tények a lineáris egyenletrendszerekről

Ha széttépi a "lineáris egyenletrendszer" kifejezést az egyes szóösszetevőkre, máris egyszerű képet kap arról, hogy mi az LGS.

  • Az LGS több lineáris elemből áll Egyenletek, amelyben különböző kezdetben ismeretlen paraméterek fordulnak elő. A lineáris azt jelenti, hogy a paraméterek nincsenek Potenciák illetőleg gyökér esemény. Például az x egyenlet1+ 2x22 = 3 nem lehet része egy lineáris egyenletrendszernek, mivel az x paraméter2 a második hatalomban fordul elő.
  • A különböző egyenletek modellezéssel állíthatók be, vagy egyszerűen megadhatók a feladatban. Példa: Teherautó -szállításnál három rész (x 1, x2, x3) szállított, amelyet az árak p1 = 1 euro, p2 = 2 euró és p3 = Legyen 3 euró. A szállítás összértéke 1000 euró. Ezeket az információkat 1x egyenletben foglalhatjuk össze1+ 2x2+ 3x3 = 1000, ahol x1, x2 és x3 a három rész kezdetben ismeretlen mennyiségének felel meg.
  • Ily módon további egyenletek állíthatók fel. Ebben a példában elképzelhető az alkatrészek helyigénye és a teherautó térfogata.
  • Az összes lineáris egyenlet beállítása után az LGS megoldható, azaz az ismeretlen x paraméter meghatározása1, x2 és x3. Itt jön szóba a Gauss -algoritmus, amellyel lépésről lépésre megoldhatja az LGS -t egy jól meghatározott séma szerint.
    • A lineáris optimalizálás szimplex módszerét egyszerűen megmagyarázták

    A lineáris optimalizálás a szűkös erőforrások optimális elosztásáról szól ...

  • Három lehetőség van a lineáris egyenletrendszer megoldására. Ha kicsit tapasztaltabb, akkor már a megoldási séma alkalmazása előtt látni fogja, hogy az LGS rendelkezik -e megoldásokkal, nincs -e vagy végtelen számú.
  • Az LGS a két x egyenlettel1+ x2 = 1 és x1+ 2x2 Például az = 1 -nek nincs megoldása, mert mindkét egyenlet nem teljesíthető egyszerre. Pontosan egy megoldás létezik, ha az ismeretlen paraméterek száma egyenlő az egyenletek számával, nincs ellentmondás, és minden egyenlet (mindegyik párban) lineárisan független. Az LGS -hez tartozó mátrix rangja ekkor pontosan megegyezik az ismeretlenek számával. Ha a rang kisebb, akkor végtelen sok megoldás létezik (lásd a példát).

Példa a Gauss -algoritmus alkalmazására

  1. Egy probléma modellezésével megvan a három egyenlet 2x1+ x2-3x3 = 6, x1-2x2-x3 = 2 és -4x1-2x2+ 6x3 = -12 beállítás.
  2. Most írja le ezt a három egyenletet egymás alá. A Gauss -algoritmus alkalmazásakor fokozatosan kiküszöböli a változókat. Tudják, hogy az elemi vonaltranszformációk nem változtatják meg a megoldási teret.
  3. Most írja le változatlanul az első egyenletet. Szorozzuk meg a második és a harmadik egyenletet úgy, hogy az első sorhoz hozzáadva ezek az új egyenletek ne legyenek x -el1 többet tartalmaznak. Tehát a második egyenletet megszorozzuk -2 -vel (x miatt1 a második egyenletben és 2x1 az első egyenletben), és adja hozzá őket az első sorhoz. Hasonlóképpen, ossza el a harmadik egyenletet kettővel, és adja hozzá az első egyenlethez.
  4. A következő lépésben két egyenlete van, amelyekben csak az x paraméterek szerepelnek2 és x3 Felugrik. Most írja le a második egyenletet, és szorozza meg a harmadik egyenletet úgy, hogy a második egyenlethez hozzáadva x2 megszűnik. Ha más egyenletei is vannak, akkor ugyanígy járjon el.
  5. Az utolsó egyenletben csak az x változó szerepel3 hogy most már meg tudja határozni. Ha az eredményt bekapcsolja a másik két egyenletbe, megadhatja az x értékeit2 és x1.
  6. Ebben a példában azonban van egy speciális eset. A 3. lépésben, ha elosztja a harmadik egyenletet 2 -vel, és hozzáadja az első egyenlethez, akkor csak 0x -ot kap1+ 0x2+ 0x3 = 0. Ennek oka egyszerű: az 1. és a 3. egyenlet lineárisan függ, mivel a harmadik egyenletet úgy kapjuk meg, hogy megszorozzuk az első egyenletet -2 -gyel.
  7. Áthúzhatja a nulla vonalat, és tudja, hogy a rang csak 2, és az LGS végtelen számú megoldást kínál, feltéve, hogy nincs ellentmondás.
  8. Tehát a 3. és 6. lépés után megvan a két egyenlet 2x1+ x2-3x3 = 6 és 5x2-x3 = 2. Van egy bizonyos fokú szabadságod. Tehát adj x -et1 és x2 x -től függően3 és ott vagy.
  9. A második egyenlet x -et jelent2 = 2/5 + 1 / 5x3.
  10. Ha beteszed az x -et2 az első egyenletbe kapjuk: 2x1+ 2/5 + 1 / 5x3-3x3 = 6. Felbontás x -re1 eredmény: x1 = 14/5 + 7 / 5x3.
  11. A megoldástér így átengedi L = {(14/5 + 7 / 5x3; 2/5 + 1 / 5x3; x3)} jelzi. Végtelen számú megoldás létezik. X -hez3 = 1, például a megoldás (21/5; 3/5; 1). Tesztként csatlakoztathatja ezt a megoldást az eredeti egyenletekhez, és látni fogja, hogy ez a megoldás valójában az LGS megoldása.

Futtassa a Gauss -algoritmust további példákban annak internalizálásához. A számértékeket saját maga adhatja meg.

Mennyire tartja hasznosnak ezt a cikket?

click fraud protection