Calculer le noyau d'une matrice

De quoi as-tu besoin:

• Notions de base sur les calculs matriciels

Mappage matriciel et linéaire - la connexion

• Une matrice n'est au départ rien de plus qu'une collection ordonnée de (principalement) Compte. L'arrangement se fait en lignes et en colonnes, vous parlez donc d'une matrice m x n avec m lignes et n colonnes.
• Matrices avoir une variété d'utilisations. Par exemple, ils peuvent représenter des systèmes d'équations linéaires. Mais les matrices jouent également un rôle dans le domaine de la cartographie mathématique (rotations, décalages, réflexions).
• Avec une matrice, vous pouvez représenter une application linéaire entre deux espaces vectoriels, c'est-à-dire entre des ensembles contenant des vecteurs. Dans le cas le plus simple, une matrice mappe des vecteurs de l'espace tridimensionnel sur d'autres vecteurs là, par exemple comme une réflexion sur un plan.
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• Vous calculez l'image de n'importe quel vecteur en divisant la matrice avec celle multiplier.

Image, noyau et ensemble de points fixes - expliqués simplement

• Les mathématiciens connaissent trois termes fondamentaux importants pour les applications linéaires, qui sont représentés sous forme de matrice, à savoir image, noyau et ensemble de points fixes dans la carte ou la matrice.


Problèmes matriciels - c'est ainsi que vous multipliez deux matrices

Multiplier deux matrices est - si vous suivez les règles - en fait ...

• L'image d'une matrice se compose des vecteurs que vous générez lorsque vous appliquez la matrice à tous les vecteurs possibles dans votre espace vectoriel d'origine. D'une certaine manière, cette image est similaire à l'ensemble des valeurs d'une fonction.
• Le noyau d'une matrice est l'ensemble de tous les vecteurs (ou points) qui sont mappés de cette matrice au vecteur zéro. Si A est la matrice, calculez le vecteur x que vous recherchez en utilisant l'équation A * x = 0. Ici, 0 symbolise le vecteur zéro, qui ne peut pas être représenté ici par une flèche. Le noyau d'une matrice est donc généralement un sous-ensemble de l'espace vectoriel d'origine.
• L'ensemble des points fixes d'une matrice est l'ensemble des vecteurs qui sont mappés sur lui-même par la matrice A. En termes simples, vous pouvez appliquer le mappage à cet ensemble de vecteurs et tout reste le même.

Éclairer la théorie - calculer des exemples

De telles parties de la théorie sont grises et souvent opaques. Pour cette raison, quelques exemples de base sont destinés à éclairer les termes de cette section :

• L'illustration la plus simple est la soi-disant. Cartographie zéro dans laquelle tous les points ou Vecteurs du R³ peut être mappé sur le vecteur zéro. Ce chiffre comprend une matrice 3 x 3 qui ne contient que des zéros. L'ensemble d'images se compose d'un seul élément, à savoir le vecteur zéro. Le noyau de la matrice est le R complet³, car tous les vecteurs sont mappés à zéro. L'ensemble des points fixes est également clair, il n'est constitué que du vecteur zéro.
• La dite mappage identique (également appelé identité) a la matrice identité comme matrice, par exemple E₃ dans l'espace tridimensionnel. L'ensemble d'images est le R complet³, Le noyau n'est que le vecteur zéro et l'ensemble des points fixes est aussi le R complet³.
• Si vous voulez calculer le noyau d'une matrice arbitraire A, votre travail se résume à résoudre un système d'équations linéaire. Parce que comme condition vous avez A * x = 0. Si l'on calcule le côté gauche, alors trois résultat pour le cas tridimensionnel, par exemple Équations avec les trois coordonnées du vecteur x comme inconnues.